Zuzen (geometria)

Geometrian, zuzena edo lerro zuzena objektu geometriko bat da, infinitu puntuen multzo batek osatua, azkengabe luzea eta mehea, eta kurbadurarik ez daukana. Zuzen bat definitzeko bi puntu besterik ezagutu ez ditugu behar. Puntuarekin eta planoarekin batera, geometriaren oinarrizko elementuetako bat da.

Zuzen baten ekuazioak zuzen bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio, puntu hauek grafikoki irudikatzen badira ^[1]. Zuzen bat analitikoki adierazteko ohizko modua da zuzenaren ekuazioa. Adibidez, x-y=1 ekuazioak balio bikote edo puntu hauek ditu, besteak beste, soluzio eta diagrama kartesiar batean irudikatzen badira puntuek zuzen bat osatzen dute:

x aldagaia	y aldagaia
5	4
6	5
1	0
4	3
2	1

Zuzenaren ekuazioa ezartzeko koordenatu cartesiarretan emandako ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\,}$ eta ${\displaystyle (x_{2},y_{2})\,}$ bi puntu baino ez dira behar, espazioan zein planoan bi puntu zuzen bat modu unibokoan definitzen baitute.

Zuzenaren ekuazioak planoan

Puntu-malda ekuazioa

Zuzenaren m malda honela kalkulatzen da, ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\,}$ eta ${\displaystyle (x_{2},y_{2})\,}$ planoko puntuetarako:

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Zuzenaren ekuazioa hau izango da:

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})\,}$

Zuzeneko (x,y) puntuak sortzeko, x aldagaiari balio ezberdinak emanez dagozkien y balioak kalkulatzen dira.

Ekuazio esplizitua

Zuzenaren ekuazioa esplizitua era honetan agertzen den ekuazioa da, m malda eta n jatorrizko ordenatua (x=0 jatorrian zuzenak hartzen duen balioa alegia) izanik:

${\displaystyle y=mx+n\,}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\ \ ;\ \ n=y_{1}-mx_{1}\,}$

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Ekuazio bektoriala

Zuzen bat zuzenaren ${\displaystyle \mathbf {p} =(x_{1},y_{1})\,}$ bektore edo puntu bat eta zuzenaren norabidea ematen duen ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ bektore zuzentzaile bat ezarriz defini daiteke, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \,}$ balioetarako:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +\lambda \mathbf {v} =(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,}$

Zuzeneko (x,y) puntuak sortzeko, ${\displaystyle \lambda \,}$ aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Ekuazio parametrikoak

Ekuazio parametrikoak ekuazio bektorialetik eratortzen da zuzenean zuzeneko puntuei dagozkien ${\displaystyle (x,y)\,}$ bektorea eta bektore zuzentzailea deskonposatuz bere bi elementutan:

${\displaystyle x=x_{1}+\lambda v_{1}=x_{1}+\lambda (x_{2}-x_{1})\,\ ,}$

${\displaystyle y=y_{1}+\lambda v_{2}=y_{1}+\lambda (y_{2}-y_{1})\,}$

Zuzeneko x eta y puntuak sortzeko, ${\displaystyle \lambda \,}$ aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Ekuazio jarraitua

Arestiko ekuazio parametrikoetatik ${\displaystyle \lambda \,}$ bakanduz eta berdinduz, ekuazio jarraitua lortzen da:

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{v_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{v_{2}}}\ ,\ {\text{edo}}}$

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\ .}$

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Ekuazio inplizitua

Zuzenaren ekuazio inplizitua era honetan agertzen den ekuazioa da:

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

Zuzenaren bektore zuzentzailea (-B,A) da.

Ekuazio esplizituarekin alderatzen bada, m malda eta n jatorriko ordenatua hauek izango dira:

${\displaystyle m={\frac {-A}{B}}\ \ ,\ \ n={\frac {-C}{B}}\,}$

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Ekuazio segmentario edo kanonikoa

Ekuazio segmentario edo kanonikoaz honela irudikatzen da zuzena:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$

${\displaystyle (a,0),(0,b)\,}$ izanik ${\displaystyle x,y\,}$ ardatzekin, hurrenez hurren, zuzenak dituen ebaki puntuak (eta horrela a eta b luzerako segmentu edo zuzenkiak sortuz).

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Koordenatu polarrak

Zuzenaren ekuazio esplizitua hartuz, eta ${\displaystyle x=r\ \cos \theta \ ,\ y=r\ \sin \theta \,}$ aldaketak eginez koordenatu cartesiarretatik koordenatu polarretara aldatzeko, m malda eta n jatorriko koordenatua izanik:

${\displaystyle y=mx+n\rightarrow r\sin \theta =mr\cos \theta +n\,}$

Beraz, zuzenaren ekuazioa koordenatu polarretan honela irudika daiteke ^[2]:

${\displaystyle r={\frac {n}{\sin \theta -m\cos \theta }},}$

Zuzena radiala denean, hau da, jatorritik igarotzen denean, zuzenaren ekuazioa koordenatu polarretan hau da:

${\displaystyle \tan \theta =m\,}$

Zuzenaren beste ekuazio batzuk

Zuzen bat irudikatzeko beste era batzuk daude, zuzena ${\displaystyle (x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2})\,}$ puntuetatik igarotzen delarik:

${\displaystyle a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0\,;}$

${\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\\end{array}}\right|.}$

Zuzenaren ekuazioak espazioan

3 dimentsiotako espazio batean, zuzenaren ekuazioa bektore zuzentzaile bat eta puntu bat erabiliz finka daiteke. Bektore zuzentzailea zuzenaren bi puntu finkatuz ezartzen da. Bektore zuzentzailea eta puntu bat ezagunak direlarik, ekuazio bektoriala, ekuazio parametrikoak eta ekuazio jarraia daude aukeran zuzenaren azalpenerako. Zuzena bi planoen ebaketa moduan ere ager daiteke: ekuazio orokor edo inplizitua erabiltzen da orduan.

Ekuazio bektoriala

Bi puntuak ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}:(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\,}$ izanik, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ bektore zuzentzailea honela kalkulatzen da:

${\displaystyle \mathbf {v} =(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\,}$

Zuzenaren ekuazioa bektoriala honako hau da.

${\displaystyle (x,y,z)=\mathbf {x} =\mathbf {x_{0}} +t\mathbf {v} =(x_{1},y_{1},z_{1})+t(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\,}$

Ekuazio parametrikoak

Ekuazio bektoriala zatituz, honela definitzen dira, ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \,}$ balioetarako:

${\displaystyle x=x_{1}+t(x_{2}-x_{1})\,}$

${\displaystyle y=y_{1}+t(y_{2}-y_{1})\,}$

${\displaystyle z=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})\,}$

Ekuazio jarraitua

Ekuazio parametrikoetan t bakanduz eta berdinduz, zuzenaren ekuazio jarraia lortzen da:

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}\,}$

Ekuazio orokor edo inplizitua

Ekuazio orokor edo inplizituak zuzena bi planoren ebaketa moduan azaltzen du:

${\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+Cz+D=0,\\A'x+B'y+C'z+D'=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle (A,B,C)\,}$ eta ${\displaystyle (A',B',C')\,}$ bi planoen bektore normalak, planoekiko elkarzutak alegia, izanik.

Zuzen berezien ekuazioak

Diagrama kartesiar batean, horizontala den zuzen baten ekuazioa hau da:

${\displaystyle y=k\,,}$

Bertikala den zuzenaren ekuazioa hau da:

${\displaystyle x=l\,.}$

(0,0) jatorri puntutik igarotzen zuzenaren ekuazioa honelakoa da:

${\displaystyle y=mx\,.}$

Ariketak

• Zuzena
• Plano bat eta zuzen bat paraleloak diren jakiteko ariketa.
• Bi puntutatik pasatzea zuzen bat eta plano baten paraleloa izatea.
• Zuzenak eta parabolak kalkulatzeko ariketa.
• Zuzenak kalkulatzeko ariketa.
• Zuzen baten malda kalkulatzeko ariketa.

Erreferentziak

Kanpo estekak

• (Gaztelaniaz) Recta en el plano, 2009-06-15.
• (Ingelesez) Line, Wolfram Mathworld, 2009-06-15.

• Datuak: Q37105
• Multimedia: Lines / Q37105