Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie

El teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie es un teorema en la topología simpléctica que generaliza el teorema de Darboux.

Enunciado

El enunciado es el que sigue. Sea M una variedad simpléctica de dimensión 2n con forma simpléctica ω. Sean

${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{r}(r\leq n)}$

funciones diferenciables en un entorno abierto V de a cuyas diferenciales son linealmente independientes en cada punto, o equivalentemente

${\displaystyle df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,}$

donde

{f_i, f_j} = 0.

(En otras palabras, están en involución dos a dos.) Aquí {-,-} es el paréntesis de Poisson. Entonces existen funciones

${\displaystyle f_{r+1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}}$

definidas en un entorno abierto ${\displaystyle U\subset V}$ de a tales que

(f_i, g_i)

es una carta simpléctica de M, es decir, ω se expresa en U como

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}}$.

Referencias

• Lee, John M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3. Graduate-level