Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

  • 0 ÷ 0 {\displaystyle 0\div 0}
  • ÷ {\displaystyle {\infty }\div {\infty }}
  • 0 × {\displaystyle 0\times \infty }
  • {\displaystyle \infty -\infty }
  • 0 0 {\displaystyle 0^{0}}
  • 1 {\displaystyle 1^{\infty }}
  • 0 {\displaystyle \infty ^{0}}
  • 1 0 {\displaystyle {\sqrt[{0}]{1}}}
  • 0 {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{0}}}
  • {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{\infty }}}

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, menos generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

lim x c f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a {\displaystyle \scriptstyle \infty } , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, {\displaystyle \scriptstyle \infty } o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

lim x 0 sin ( x ) x = 0 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}
lim x 0 x 2 x = 0 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}

La forma ထ/ထ

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ထ/ထ. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

lim x + e x x = + + {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}
lim x + x ln ( x ) = + + {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ထ

lim x 0 + x ln x = 0 ( ) {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}


lim x π 2 cos x tan x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es {\displaystyle \infty } , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo {\displaystyle \infty -\infty } . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

  • La forma 00
lim x 0 + x x = lim x 0 + e ln x x = lim x 0 + e x ln x = e lim x 0 + ( x ln x ) . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}
  • La forma ထ0
  • La forma 1

Ejemplo: el siguiente límite[1]

lim x 0 + x ( 3 4 + ln x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}} , es de la forma 0 0 {\displaystyle 0^{0}} ; considerando
y = x ( 3 4 + ln x ) {\displaystyle y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

ln y = 3 4 + ln x ln x {\displaystyle \ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x} aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
ln y = 3 1 / x 1 / x = 3 {\displaystyle \ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3} de manera que el límite sería
lim x 0 + y = e 3 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada Condiciones Transformación a 0/0 Transformación a ထ/ထ
0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} lim x c f ( x ) = 0 ,   lim x c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
lim x c f ( x ) g ( x ) = lim x c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
{\displaystyle \infty \over \infty } lim x c f ( x ) = ,   lim x c g ( x ) = {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x c f ( x ) g ( x ) = lim x c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
0 {\displaystyle \qquad 0\cdot \infty } lim x c f ( x ) = 0 ,   lim x c g ( x ) = {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x c f ( x ) g ( x ) = lim x c f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x c f ( x ) g ( x ) = lim x c g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}
1 {\displaystyle \qquad 1^{\infty }} lim x c f ( x ) = 1 ,   lim x c g ( x ) = {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x c f ( x ) g ( x ) = exp lim x c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x c f ( x ) g ( x ) = exp lim x c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
0 0 {\displaystyle \qquad 0^{0}} lim x c f ( x ) = 0 + , lim x c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x c f ( x ) g ( x ) = exp lim x c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x c f ( x ) g ( x ) = exp lim x c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
0 {\displaystyle \infty ^{0}} lim x c f ( x ) = ,   lim x c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x c f ( x ) g ( x ) = exp lim x c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x c f ( x ) g ( x ) = exp lim x c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
+ {\displaystyle \qquad +\infty -\infty } lim x c f ( x ) = ,   lim x c g ( x ) = {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x c ( f ( x ) g ( x ) ) = lim x c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) 1 / ( f ( x ) g ( x ) ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!} lim x c ( f ( x ) g ( x ) ) = ln lim x c e f ( x ) e g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}

Véase también

Referencias

  1. Kong, Maynard, Cálculo Diferencial, ISBN 9972-42-194-5, pg. 384

Bibliografía

  • Stewart, James (1999). Cálculo:Trascendentes tempranas. Thompson Learning. ISBN 970-686-127-0. 
  • Apostol, Tom (2006). Cálculus. Reverte. ISBN 968-6708-10-3. 
Control de autoridades
  • Proyectos Wikimedia
  • Wd Datos: Q115089
  • Wd Datos: Q115089