Elemento simétrico

En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto ${\displaystyle A\,}$ en el que se ha definido una operación matemática ${\displaystyle \circledcirc }$, que anotamos: ${\displaystyle (A,\circledcirc )\,}$, siendo la operación ${\displaystyle \circledcirc }$, interna en ${\displaystyle A\,}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}$

Con elemento neutro ${\displaystyle e\,:}$

${\displaystyle \exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a}$

Se dice que un elemento ${\displaystyle a\in A}$ tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ si:

${\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e}$

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ si:

${\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e}$

elemento simétrico respecto de la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

${\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e}$

Un elemento simétrico ${\displaystyle {\bar {a}}}$ de ${\displaystyle A\,}$ es simétrico por la derecha del elemento ${\displaystyle a\,}$ y simétrico por la izquierda del elemento ${\displaystyle a\,}$.

Notación

Notación aditiva

Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.

Ejemplo

La suma en el conjunto de los números enteros: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$,

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\oplus :&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\oplus b\end{array}}}$

es interna:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus b\in \mathbb {Z} }$

En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists 0\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus 0=0\oplus a=a}$

El elemento simétrico de ${\displaystyle a\,}$ se denomina elemento opuesto de ${\displaystyle a\,}$ y se denota por: ${\displaystyle -a\,}$.

Para dicho conjunto de números entero la operación suma: ${\displaystyle \oplus }$, tenemos que:

${\displaystyle a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists (-a)\in \mathbb {Z} \;:\quad (-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0}$

Notación multiplicativa

Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.

Ejemplo

La multiplicación en el conjunto de los números racionales: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$,

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}}$

es interna:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot b\in \mathbb {Q} }$

En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad \exists 1\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot 1=1\odot a=a}$

El elemento simétrico de ${\displaystyle a\,}$ se denomina elemento inverso de ${\displaystyle a\,}$ y se denota por ${\displaystyle a^{-1}\,}$ o por ${\displaystyle {\frac {1}{a}}.}$

Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad a\neq 0\;,\quad \exists {\frac {1}{a}}\in \mathbb {Q} \;:\quad {\frac {1}{a}}\odot a=a\odot {\frac {1}{a}}=1}$

Véase también

Véase también

• Elemento neutro
• Elemento simétrico
  • Elemento opuesto
  • Elemento inverso

• Elemento absorbente
• Elemento complementario