Coordenadas baricéntricas (n-simplex)

Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas solo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.

Triángulo

Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ de vértices ${\displaystyle {\text{A}}=(x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle {\text{B}}=(x_{B},y_{B})}$ y ${\displaystyle {\text{C}}=(x_{C},y_{C})}$, entonces cualquier punto del interior del triángulo ${\displaystyle {\text{P}}=(x,y)}$ puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ tales que:

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =1\,\qquad 0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq 1}$

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\alpha x_{A}+\beta x_{B}+\gamma x_{C}\\y=\alpha y_{A}+\beta y_{B}+\gamma y_{C}\end{cases}}}$

En concreto el lado ${\displaystyle {\text{AB}}}$ se caracteriza por tener ${\displaystyle \gamma =0}$, el lado ${\displaystyle {\text{BC}}}$ tiene ${\displaystyle \alpha =0}$, y el lado ${\displaystyle {\text{CA}}}$ ${\displaystyle \beta =0}$. El baricentro coincidirá con el punto ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )=(1/3,\ 1/3,\ 1/3)}$. El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:

${\displaystyle T=\{(x,y)|\exists \alpha ,\beta ,\gamma :(\alpha +\beta +\gamma =1)\ \land \ (x=\alpha x_{A}+\beta x_{B}+\gamma x_{C})\ \land \ (y=\alpha y_{A}+\beta y_{B}+\gamma y_{C})\}}$

El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos:

(left)${\displaystyle T_{a}=\{(x,y)\in T|\exists \beta ,\gamma :(\beta +\gamma =1)\ \land \ (x=\beta x_{B}+\gamma x_{C})\ \land \ (y=\beta y_{B}+\gamma y_{C})\}}$

y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.

Tetraedro

La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$. Si los vértices del tetraedro en cuestión son ${\displaystyle {\text{A}}=(x_{A},y_{A},z_{A})}$, ${\displaystyle {\text{B}}=(x_{B},y_{B},z_{B})}$, ${\displaystyle {\text{C}}=(x_{C},y_{C},z_{C})}$ y ${\displaystyle {\text{D}}=(x_{D},y_{D},z_{D})}$, entonces cualquier punto del interior del tetraedro ${\displaystyle {\text{P}}=(x,y,z)}$ puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas ${\displaystyle (t_{A},t_{B},t_{C},t_{D})}$ tales que:

${\displaystyle t_{A}+t_{B}+t_{C}+t_{D}=1\,\qquad 0\leq t_{X}\leq 1}$

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

${\displaystyle {\begin{cases}x=t_{A}x_{A}+t_{B}x_{B}+t_{C}x_{C}+t_{D}x_{D}\\y=t_{A}y_{A}+t_{B}y_{B}+t_{C}y_{C}+t_{D}y_{D}\\z=t_{A}z_{A}+t_{B}z_{B}+t_{C}z_{C}+t_{D}z_{D}\end{cases}}}$

El baricentro coincidirá con el punto ${\displaystyle (t_{A},t_{B},t_{C},t_{D})\ =\ (1/4,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/4)}$. Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero ${\displaystyle t_{A}\neq 0,t_{B}\neq 0,t_{C}\neq 0,t_{D}\neq 0}$ el punto será un interior, si solo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y solo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.

n-simplex

Dado un n-simplex (o simplex) en el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$, se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son:

${\displaystyle V_{i}=(\sigma _{1}^{i},\sigma _{2}^{i},\ldots ,\sigma _{n}^{i})\qquad i=1,2,\ldots ,n+1\qquad ,}$

entonces cualquier punto del interior del simplex ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$ puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas ${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n+1})}$ tales que:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}t_{i}=1\,\qquad 0\leq t_{i}\leq 1}$

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

${\displaystyle p_{j}=\sum _{i=1}^{n+1}t_{i}\sigma _{j}^{i}\qquad j=1,2,\ldots ,n}$

El baricentro coincidirá con el punto ${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n+1})\ =\ (1/(n+1),1/(n+1),\ldots ,1/(n+1))}$.