Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen V {\displaystyle V} eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck p {\displaystyle p} .

Zustandsgleichung nach Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:

p = K 0 K 0 ′ [ ( V 0 V ) K 0 ′ − 1 ] {\displaystyle p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{K_{0}'}-1\right]}
⇔ V = V 0 ⋅ [ K 0 ′ K 0 p + 1 ] − 1 K 0 ′ {\displaystyle \Leftrightarrow V=V_{0}\cdot \left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}}}

mit

  • dem Volumen V 0 {\displaystyle V_{0}} des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
  • dem Kompressionsmodul K 0 {\displaystyle K_{0}} bei einem Druck von 0 GPa:
K 0 = − V ∂ p ∂ V | p = 0 G P a {\displaystyle K_{0}=-V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }}
  • der ersten Ableitung K 0 ′ {\displaystyle K_{0}'} des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:
K 0 ′ = ∂ K ∂ p | p = 0 G P a {\displaystyle K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }} .

Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:

  • der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:
K ( p ) = K 0 + p K 0 ′ {\displaystyle K(p)=K_{0}+p\,K_{0}'}
  • die Größe K 0 ′ {\displaystyle K_{0}'} hängt nicht vom Druck ab.

Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p {\displaystyle p} und der freien Energie F {\displaystyle F} besteht:

p = ( ∂ F ∂ V ) T {\displaystyle p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T}}

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

F = ∑ n = 1 ∞ a n ϵ n {\displaystyle F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n}}

Hier sind

  • a n {\displaystyle a_{n}} druckabhängige Koeffizienten
  • ϵ n {\displaystyle \epsilon ^{n}} ist die Eulersche Dehnung.
ϵ = 1 2 [ 1 − ( V V 0 ) − 2 3 ] {\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}\left[1-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right]}

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:

p = 3 2 K 0 [ ( V V 0 ) − 7 3 − ( V V 0 ) − 5 3 ] [ 1 + 3 4 ( K 0 ′ − 4 ) [ ( V V 0 ) − 2 3 − 1 ] ] {\displaystyle p={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right]}

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

  • F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
  • B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)