Stark stetige Gruppe

Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie ${\displaystyle (T(t))_{t\in \mathbb {R} }}$ von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum ${\displaystyle X}$ in sich und ist ein Spezialfall einer stark stetigen Halbgruppe. Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.

Definition

Seien ${\displaystyle X}$ ein Banachraum und ${\displaystyle T=(T(t))_{t\in \mathbb {R} }}$ eine Familie beschränkter linearer Operatoren ${\displaystyle T(t):X\rightarrow X}$ für ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Gilt

• ${\displaystyle T(0)=I}$,
• ${\displaystyle T(s+t)=T(s)T(t)}$ für alle ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ und
• ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}T(t)x=x}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$,

wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.

Infinitesimaler Erzeuger

Der (infinitesimale) Erzeuger ${\displaystyle (A,D(A))}$ ist gegeben durch

${\displaystyle D(A):=\left\{x\in X:\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {T(h)x-x}{h}}\ \mathrm {existiert} \right\}}$

und

${\displaystyle Ax:=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {T(h)x-x}{h}}}$ für ${\displaystyle x\in D(A)}$.

Folgerungen

• Erzeugen ${\displaystyle (A,D(A))}$ eine stark stetige Halbgruppe ${\displaystyle (T_{+}(t))_{t\geq 0}}$ mit ${\displaystyle \|T_{+}(t)\|\leq Me^{\omega t}}$ und ${\displaystyle (-A,D(A))}$ eine stark stetige Halbgruppe ${\displaystyle (T_{-}(t))_{t\geq 0}}$ mit ${\displaystyle \|T_{-}(t)\|\leq Me^{\omega t}}$ für ein ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle M>0}$ und alle ${\displaystyle t>0}$.

So ist ${\displaystyle (A,D(A))}$ der Erzeuger einer stark stetigen Gruppe ${\displaystyle (T(t))_{t\geq 0}}$ mit ${\displaystyle T(t)=T_{+}(t)}$ für ${\displaystyle t\geq 0}$, ${\displaystyle T(t)=T_{-}(-t)}$ für ${\displaystyle t<0}$ und ${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}}$ für ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

• Sei ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein dicht definierter, abgeschlossener Operator und es existiere ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle M>0}$, so dass ${\displaystyle (\omega ,\infty )\cup (-\infty ,-\omega )\subset \rho (A)}$ und ${\displaystyle \|((|\lambda |-\omega )R(\lambda ,A))^{n}\|\leq M}$ für alle ${\displaystyle \lambda >\omega ,\lambda <-\omega }$ und alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Dann erzeugt ${\displaystyle (A,D(A))}$ eine stark stetige Gruppe ${\displaystyle (T(t))_{t\in \mathbb {R} }}$ mit ${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Hierbei stehen ${\displaystyle R(\lambda ,A)}$ für die Resolvente und ${\displaystyle \rho (A)}$ für die Resolventenmenge von ${\displaystyle A}$.

Satz von Stone

Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien ${\displaystyle X}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle T}$ eine stark stetige Gruppe, wobei ${\displaystyle T(t)}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator ${\displaystyle A}$, so dass ${\displaystyle iA}$ der Erzeuger von ${\displaystyle T}$ ist. Umgekehrt erzeugt ${\displaystyle iA}$ für jeden selbstadjungierten Operator ${\displaystyle A}$ eine stark stetige Gruppe aus unitären Operatoren.

Literatur

• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
• Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).