Schleifenraum

Der Schleifenraum ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, insbesondere der Homotopietheorie.

Es sei ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ein punktierter topologischer Raum. Es sei ${\displaystyle C([0,1],X)}$ der Raum aller stetigen Funktionen ${\displaystyle w:[0,1]\rightarrow X}$, versehen mit kompakt-offenen-Topologie. Der Schleifenraum von ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ist der Unterraum

${\displaystyle \Omega (X,x_{0}):=\{w\in C([0,1],X)\,\mid \,w(0)=w(1)=x_{0}\}}$

mit der Teilraumtopologie.

Die „Punkte“ von ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})}$ sind also geschlossene Wege ${\displaystyle w}$ mit Start- und Endpunkt ${\displaystyle x_{0}}$, sogenannte Schleifen an ${\displaystyle x_{0}}$. Daraus erklärt sich die Bezeichnung Schleifenraum.

Der Schleifenraum ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})}$ ist in natürlicher Weise selbst wieder ein punktierter topologischer Raum, als Basispunkt nimmt man die konstante Schleife ${\displaystyle k:[0,1]\rightarrow X,k(t)=x_{0}}$ für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}$.

Sind ${\displaystyle (X,x_{0})}$ und ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ punktierte topologische Räume und ist ${\displaystyle f:(X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})}$ eine stetige Abbildung, so ist durch

${\displaystyle \Omega f:\Omega (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),w\mapsto f\circ w}$

eine stetige Abbildung zwischen den Schleifenräumen erklärt. Ist ${\displaystyle (Z,z_{0})}$ ein dritter punktierter topologischer Raum und ${\displaystyle g:(Y,y_{0})\rightarrow (Z,z_{0})}$ stetig, so gilt offenbar

${\displaystyle \Omega (g\circ f)=\Omega g\circ \Omega f}$.

Auf diese Weise erhält man einen Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume.^[1]

Eine Homotopie zwischen zwei Schleifen ${\displaystyle v,w\in \Omega (X,x_{0})}$ ist eine stetige Abbildung

${\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X}$, so dass

${\displaystyle H(s,0)=v(s)}$   für alle ${\displaystyle s\in [0,1]}$

${\displaystyle H(s,1)=w(s)}$   für alle ${\displaystyle s\in [0,1]}$

${\displaystyle H(0,t)=H(1,t)=x_{0}}$   für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}$

Das stellt man sich so vor, dass die Schleifen ${\displaystyle v=H(\cdot ,0)}$ und ${\displaystyle w=H(\cdot ,1)}$ durch die ${\displaystyle H(\cdot ,t)}$ stetig ineinander „deformiert“ werden. Die letzte der genannten Bedingungen stellt sicher, dass die ${\displaystyle H(\cdot ,t)}$ ebenfalls Schleifen an ${\displaystyle x_{0}}$ sind. Solche Homotopien, die den Basispunkt des punktierten topologischen Raums festhalten, nennt man genauer punktierte Homotopien.

Homotopie zwischen Schleifen ist eine Äquivalenzrelation, die Menge der Äquivalenzklassen von ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})}$ wird oft mit ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ bezeichnet. Die Äquivalenzklasse einer Schleife ${\displaystyle w}$ wird mit ${\displaystyle [w]}$ bezeichnet und Homotopieklasse genannt.

Sind zwei Schleifen ${\displaystyle v,w\in \Omega (X,x_{0})}$ gegeben, so kann daraus eine neue Schleife ${\displaystyle v*w}$ gebildet, die zuerst ${\displaystyle v}$ durchläuft und danach ${\displaystyle w}$, genauer

${\displaystyle (v*w)(t)={\begin{cases}v(2t)&{\text{ für }}t\in [0,{\textstyle {\frac {1}{2}}}]\\w(2t-1)&{\text{ für }}t\in [{\textstyle {\frac {1}{2}}},1]\end{cases}}}$.

Diese Verknüpfung ist mit der Homotopie von Schleifen verträglich, induziert also eine Verknüpfung auf der Menge ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ der Homotopieklassen: ${\displaystyle [v]*[w]:=[v*w]}$. Man kann zeigen, dass diese Verknüpfung ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ zu einer Gruppe macht, die man die Fundamentalgruppe von ${\displaystyle (X,x_{0})}$ nennt^[2], neutrales Element ist ${\displaystyle [k]}$, die Homotopieklasse der konstanten Schleife. Der Schleifenraum selbst ist mit der Verknüpfung * keine Gruppe, es ist also notwendig, zu den Homotopieklassen überzugehen.

Die Einhängung ${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})}$ des punktierten topologischen Raums ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ist als Quotientenraum

${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})=(X\times [0,1])/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1])}$

definiert, ${\displaystyle q:X\times [0,1]\rightarrow \Sigma (X,x_{0})}$ sei die Quotientenabbildung, wobei wie üblich das Bild von ${\displaystyle X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1]}$ als Basispunkt in ${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})}$ genommen wird. Es sei ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ ein weiterer punktierter topologischer Raum. Zu einer stetigen Abbildung

${\displaystyle f:\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})}$

erhält man eine stetige Abbildung

${\displaystyle f\circ q:X\times [0,1]\rightarrow Y}$

und damit eine stetige Abbildung

${\displaystyle {\tilde {f}}:(X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),\,({\tilde {f}}(x))(t):=(f\circ q)(x,t),\quad x\in X,t\in [0,1]}$.

Da ${\displaystyle (x,0)}$ und ${\displaystyle (x,1)}$ unter ${\displaystyle q}$ auf den Basispunkt von ${\displaystyle \Sigma (X,x_{0})}$ abgebildet werden und ${\displaystyle f}$ Basispunkte erhält, ist ${\displaystyle (f\circ q)(x,0)=(f\circ q)(x,1)=y_{0}}$, das heißt ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$ ist tatsächlich ein Element des Schleifenraums ${\displaystyle \Omega (Y,y_{0})}$. Wir erhalten somit eine bijektive Abbildung

${\displaystyle C(\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0}))\rightarrow C((X,x_{0}),\Omega (Y,y_{0})),\,f\mapsto {\tilde {f}}}$

in der Kategorie der punktierten topologischen Räume, diese Abbildung ist mit punktierten Homotopien verträglich, induziert daher eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen. In diesem Sinne sind die Funktoren ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle \Sigma }$ adjungiert.^[3]

1. ↑ Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space
2. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 7.1, Satz 1
3. ↑ Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space