Satz von Brauer

Der Satz von Brauer ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen von Richard Brauer. Er besagt, dass jede lineare Darstellung einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ in mehr oder minder einfacher Weise aus Darstellungen von sogenannten elementaren Untergruppen gewonnen werden kann. Dabei sind diese elementaren Untergruppen direktes Produkt einer p-Gruppe und einer zyklischen Gruppe. Zum Verständnis der Darstellungstheorie von ${\displaystyle G}$ ist es also ausreichend, die Darstellungen ihrer zyklischen und ihrer p-Untergruppen zu kennen.

Zuerst benötigen wir einige Definitionen:

Eine Gruppe heißt ${\displaystyle p}$-elementar, falls sie das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe von Primzahlordnung ${\displaystyle p}$ mit einer ${\displaystyle p}$-Gruppe ist.

Eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ heißt elementar, falls sie ${\displaystyle p}$-elementar für mindestens eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist.

Eine Darstellung von ${\displaystyle G}$ heißt monomial, falls sie von einer ${\displaystyle 1}$-dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von ${\displaystyle G}$ induziert ist.

Jeder Charakter einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von Charakteren, die von Charakteren elementarer Untergruppen induziert werden.

Ein Beweis und eine ausführlichere Erläuterung der von Brauer aufgestellten Theorie findet sich in Büchern von Jean-Pierre Serre^[1] und Serge Lang.^[2]

Da ${\displaystyle p}$-elementare Gruppen nilpotent und damit überauflösbar sind, kann folgender Satz aus^[3] angewendet werden:

Satz

Sei ${\displaystyle G}$ eine überauflösbare Gruppe. Dann ist jede irreduzible Darstellung von ${\displaystyle G}$ induziert von einer ${\displaystyle 1}$-dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von ${\displaystyle G.}$ D. h., jede irreduzible Darstellung von ${\displaystyle G}$ ist monomial.

Damit erhalten wir als Folgerung aus dem Satz von Brauer:

Satz

Jeder Charakter von ${\displaystyle G}$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von monomialen Charakteren.

• Der Induktionssatz von Brauer

1. ↑ Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90190-6.
2. ↑ Serge Lang: Algebra. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 663–729.
3. ↑ Serre, op. cit.