Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung ist die von Wolfgang Pauli (1900–1958) angegebene^[1] Erweiterung der Schrödingergleichung, um geladene Spin-1/2-Teilchen, etwa Elektronen in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen, warum ein Strahl von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.

Die Pauli-Gleichung lautet:

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -g\,\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,}$

Hier bezeichnet

• ${\displaystyle \varphi ={\begin{pmatrix}\varphi _{\uparrow }(t,{\vec {x}})\\\varphi _{\downarrow }(t,{\vec {x}})\end{pmatrix}}}$ die zweikomponentige Ortswellenfunktion (Paulispinor)
• ${\displaystyle p^{i}=-\mathrm {i} \hbar \partial _{x^{i}}\,,i\in \{1,2,3\}\,,}$ die ${\displaystyle i}$-te Komponente des Impulsoperators,
• ${\displaystyle \,q}$ die elektrische Ladung und ${\displaystyle \,m}$ die Masse des Teilchens,
• ${\displaystyle \,\phi }$ das skalare elektrische Potential und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ das magnetische Vektorpotential,
• ${\displaystyle \,g}$ den gyromagnetischen Faktor,
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ die Pauli-Matrizen (mit dem Spin-Operator ${\displaystyle {\vec {S}}=\hbar \,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}}$),
• ${\displaystyle {\vec {B}}={\text{rot}}\,{\vec {A}}}$ das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}}$ koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor ${\displaystyle g}$ stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}\,,}$

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2\,m}}\varphi -{\frac {q}{2\,m}}\,{\bigl (}{\vec {L}}+g\,{\vec {S}}{\bigr )}\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.}$

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert ${\displaystyle g=2}$ für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden^[2]. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

${\displaystyle g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.}$

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung aus der Dirac-Gleichung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi _{2}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi _{1}\end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)+m\,c^{2}\,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\-\varphi _{2}\end{array}}\right)}$   mit   ${\displaystyle {\vec {\pi }}={\vec {p}}-q\,{\vec {A}}}$

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\displaystyle m\,c^{2}\,t}{\displaystyle \hbar }}}\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)}$

die Zeitableitung der Zweierspinoren ${\displaystyle \varphi }$ und ${\displaystyle \chi }$ klein ist.

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\chi \\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi \end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\-2\,m\,c^{2}\,\chi \end{array}}\right)}$

In der Zeile ${\displaystyle \partial _{t}\chi }$ ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie ${\displaystyle m\,c^{2}\,.}$ Daher ist ${\displaystyle \chi }$ klein gegen ${\displaystyle \varphi }$ und ungefähr gleich

${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi }{2\,m\,c}}\,.}$

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})^{2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi \,.}$

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

${\displaystyle ({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})^{\,2}=\sigma ^{i}\,\sigma ^{j}\pi ^{i}\pi ^{j}=(\delta ^{ij}+\mathrm {i} \varepsilon ^{ijk}\sigma ^{k})\pi ^{i}\pi ^{j}={\vec {\pi }}^{2}-q\,\hbar \,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}\,.}$

Der Spinor ${\displaystyle \varphi }$ genügt daher der Pauli-Gleichung mit ${\displaystyle g=2}$,

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {\pi }}^{\,2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi -{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.}$

Im homogenen Magnetfeld gilt ${\displaystyle \phi =0\,,\,{\vec {A}}={\frac {1}{2}}\,{\vec {B}}\times {\vec {x}}\,,}$ und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

${\displaystyle ({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}={\vec {p}}^{\,2}-q\,{\vec {x}}\times {\vec {p}}\cdot {\vec {B}}={\vec {p}}^{\,2}-q\,{\vec {L}}\cdot {\vec {B}}\,,}$

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in ${\displaystyle {\vec {B}}}$ sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {p}}^{\,2}}{2\,m}}\,\varphi -{\frac {q}{2\,m}}\,({\vec {L}}+g\,{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.}$

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}}$ und trägt nicht nur ${\displaystyle -{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\frac {\vec {L}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}}$ zur Energie bei. Der Faktor ${\displaystyle {\frac {q\,\hbar }{2\,m}}}$ wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist ${\displaystyle {\frac {\vec {L}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}}$ ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke ${\displaystyle |{\vec {B}}|\,.}$ Dagegen ergibt ${\displaystyle {\frac {\vec {S}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}}$ ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Literatur

• Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I). 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63779-6 (Springer-Lehrbuch).
• Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63382-0 (Springer-Lehrbuch).
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantum Mechanics. Volume 2. Wiley u. a., New York NY u. a. 1977, ISBN 0-471-16435-6 (A Wiley-Interscience Publication).

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Pauli: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, 1927, S. 601–623, doi:10.1007/BF01397326. 
2. ↑ Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.