Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu finden. Die Substitutionsmethode erlaubt es unter gewissen Umständen, einen „komplizierte“ Integranden durch einen „einfachen“ Integranden zu ersetzen, wodurch die Berechnung letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückgeführt wird. Neben dieser praktischen Bedeutung stellt sie einen zentralen Baustein der Analysis dar, mit dessen Hilfe sich wesentliche theoretische Resultate beweisen oder herleiten lassen.

Die Substitutionsregel bildet das Gegenstück zur Kettenregel der Differentialrechnung. Ihr Äquivalent für Integrale über multivariaten Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel

Ist ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to I}$ eine stetig differenzierbare Funktion, so gilt

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Heuristische Herleitung

Die Substitutionsregel lässt sich mithilfe des Differentialkalküls herleiten: Dazu substituiert man ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ und schreibt die Ableitung als ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\varphi '(t)}$. Die linke Seite dieser Gleichung fasst man als Quotient von zwei Differentialen auf, wodurch man nach Multiplikation mit ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ die Gleichung ${\displaystyle \mathrm {d} x=\varphi '(t)\,\mathrm {d} t}$ erhält. Durch Einsetzen in das Integral erhält man hiermit

${\displaystyle \int f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t=\int f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Im linken Integral ist ${\displaystyle t}$ die Integrationsvariable, im rechten Integral hingegen ${\displaystyle x}$. Der Wechsel der Integrationsvariable von ${\displaystyle t}$ zu ${\displaystyle x}$ erfordert noch eine Anpassung der Integrationsgrenzen: Für ${\displaystyle t=a}$ ist ${\displaystyle x=\varphi (a)}$ und für ${\displaystyle t=b}$ ist ${\displaystyle x=\varphi (b)}$. Damit erhält man schließlich

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Beweis

Ist ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$, so gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion ${\displaystyle F\circ \varphi }$ nach der Kettenregel

${\displaystyle (F\circ \varphi )'(t)=F'(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t).}$

Also ist ${\displaystyle F\circ \varphi }$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle (f\circ \varphi )\cdot \varphi '}$. Durch zweimaliges Anwenden des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man die Substitutionsregel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t&=(F\circ \varphi )(t){\bigg \vert }_{a}^{b}\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))=\int \limits _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Transformationssatz

Die Substitutionsmethode lässt sich unter etwas engeren Voraussetzungen auch „rückwärts“ durchführen. Ausgangspunkt ist das Integral

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

über einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I}$. Ist ${\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to I}$ eine injektive Funktion, so existiert die Umkehrfunktion ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ und somit auch ${\displaystyle \varphi ^{-1}({\alpha })}$ und ${\displaystyle \varphi ^{-1}({\beta })}$. Setzt man noch voraus, dass ${\displaystyle \varphi }$ stetig differenzierbar ist, so kann man die Substitutionsregel von rechts nach links lesen, wodurch man die Formel

${\displaystyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\int \limits _{\varphi ^{-1}(\alpha )}^{\varphi ^{-1}(\beta )}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t}$

erhält. Sie lässt sich wie folgt interpretieren: Transformiert man die Variable ${\displaystyle x}$ mittel ${\displaystyle x=\varphi (t)}$, so ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die neue Funktion ${\displaystyle f\circ \varphi }$ mit der Ableitung von ${\displaystyle \varphi }$ multipliziert und die Integralgrenzen wie oben anpasst. In dieser Fassung nennt man die Substitutionsregel deshalb auch Transformationsformel.

Bei geschickter Wahl der Funktion ${\displaystyle \varphi }$ kann entgegen dem ersten Anschein der Integrand vereinfacht werden.

Substitution eines bestimmten Integrals

Beispiel 1

Berechnung des Integrals

${\displaystyle \int _{0}^{a}\sin(2x)\,\mathrm {d} x}$

für eine beliebige reelle Zahl ${\displaystyle a>0}$: Durch die Substitution ${\displaystyle t=\varphi (x)=2x}$ erhält man ${\displaystyle \mathrm {d} t=\varphi '(x)\,\mathrm {d} x=2\,\mathrm {d} x}$, also ${\displaystyle \mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}{\mathrm {d} t}}$, und damit:

${\displaystyle \int _{0}^{a}\sin(2x)\,\mathrm {d} x=\int _{\varphi (0)}^{\varphi (a)}\sin(t)\,{\frac {1}{2}}{\mathrm {d} t}=\int _{0}^{2a}\sin(t)\,{\frac {1}{2}}{\mathrm {d} t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2a}\sin(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}[-\cos(t)]_{0}^{2a}={\frac {1}{2}}(-\cos(2a)+\cos(0))={\frac {1}{2}}(1-\cos(2a))}$.

Beispiel 2

Berechnung des Integrals

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x}$:

Durch die Substitution ${\displaystyle t=\varphi (x)=x^{2}+1}$ erhält man ${\displaystyle \mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x}$, also ${\displaystyle x\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} t}$, und damit

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left(\sin(5)-\sin(1)\right)}$.

Es wird also ${\displaystyle x^{2}+1}$ durch ${\displaystyle t}$ ersetzt und ${\displaystyle x\,\mathrm {d} x}$ durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {d} t}$. Die untere Grenze des Integrals ${\displaystyle x=0}$ wird dabei in ${\displaystyle t(0)=0^{2}+1=1}$ umgewandelt und die obere Grenze ${\displaystyle x=2}$ in ${\displaystyle t(2)=2^{2}+1=5}$.

Beispiel 3

Das ist ein Beispiel für die Substitution rückwärts.

Für die Berechnung des Integrals

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

kann man ${\displaystyle t=\sin(x)}$ substituieren. Daraus ergibt sich ${\displaystyle \mathrm {d} t=\cos(x)\,\mathrm {d} x}$. Um die Integrationsgrenzen umzurechnen, benutzt man die umgekehrte Beziehung ${\displaystyle x=\arcsin(t)}$. Die obere Grenze ${\displaystyle 1}$ wird zu ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$, weil ${\displaystyle \arcsin(1)={\frac {\pi }{2}}}$. Aus ${\displaystyle \arcsin(0)=0}$ ergibt sich die neue untere Grenze ${\displaystyle 0}$. Mit ${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}=\cos(t)}$ für ${\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$ rechnet man

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}\cos(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

${\displaystyle \cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}}$

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\left[{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\sin(2x)\right]_{x=0}^{x={\frac {\pi }{2}}}={\frac {\pi }{4}}}$.

(Damit haben wir die Fläche eines Viertelkreises berechnet.)

Substitution eines unbestimmten Integrals

Voraussetzungen und Vorgehen

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

${\displaystyle F(\varphi (\cdot ))=\int f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t.}$

wobei ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$ ist.

Beispiel 1

Durch quadratische Ergänzung und anschließende Substitution ${\displaystyle t=x+1}$, ${\displaystyle \mathrm {d} x=\mathrm {d} t}$ erhält man

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{(x+1)^{2}+1}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{t^{2}+1}}\,\mathrm {d} t=\arctan(t)+C=\arctan(x+1)+C}$

Beispiel 2

Mit der Substitution ${\displaystyle t=x^{2},\mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x}$ erhält man

${\displaystyle \int x\,\cos \left(x^{2}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int 2x\cos \left(x^{2}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int \cos(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left(\sin(t)+C'\right)={\frac {1}{2}}\sin \left(x^{2}\right)+C}$

Man beachte, dass die Substitution nur für ${\displaystyle x\geq 0}$ bzw. nur für ${\displaystyle x\leq 0}$ streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution

Lineare Substitution

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$, dann gilt

${\displaystyle \int f(ax+b)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}F(ax+b)+C}$, falls ${\displaystyle a\neq 0}$.

Zum Beispiel gilt

${\displaystyle \int e^{3x+1}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}e^{(3x+1)}+C}$,

da ${\displaystyle f(x)=e^{x}=F(x)}$ und ${\displaystyle a=3}$.

Logarithmische Integration

Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:

${\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C\quad \left(f(x)\neq 0\right)}$.

Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit ${\displaystyle t=f(x)}$.

Zum Beispiel gilt

${\displaystyle \int {\frac {x}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)+C}$,

da ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ die Ableitung ${\displaystyle f'(x)=2x}$ hat.

Eulersche Substitution

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

${\displaystyle \int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\;\mathrm {d} x}$

und

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}$

elementar integrieren.

Beispiel:

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

Durch die Substitution ${\displaystyle t-x={\sqrt {x^{2}+1}}}$ also ${\displaystyle t^{2}-2tx=1}$, ${\displaystyle x={\tfrac {t}{2}}-{\tfrac {1}{2t}}}$, ${\displaystyle t-x={\tfrac {t}{2}}+{\tfrac {1}{2t}}}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} x=\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2t^{2}}}\right)\mathrm {d} t}$ ergibt sich

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\int {\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2t^{2}}}}{{\frac {t}{2}}+{\frac {1}{2t}}}}\mathrm {d} t=\int {\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln t+C=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C}$.

Siehe auch

• Partielle Integration für eine weitere wichtige Methode zur Berechnung von Integralen,
• Weierstraß-Substitution für bestimmte Funktionen, die trigonometrische Funktionen enthalten.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201
• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer, Berlin / Heidelberg/ New York 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 182–191

Weblinks

• Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel
• Video: Substitutionsregel. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9911.
• Video: Integration durch Substitution, Fingerübung. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/10142.
• Video: drei Wege für Integration durch Substitution. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/10144.
• Video: Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9987.
• Video: Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9988.