Galoiskohomologie

Unter Galoiskohomologie versteht man im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie das Studium der Gruppenkohomologie von Galoisgruppen.

Ist L|K eine Körpererweiterung und A ein Galoismodul, also ein Modul unter der Galoisgruppe Gal(L|K), so schreibt man

H ∗ ( L | K , A ) = H ∗ ( G a l ( L | K ) , A ) {\displaystyle \,H^{*}(L|K,A)=H^{*}(\mathrm {Gal} (L|K),A)} (zur Notation siehe den Artikel Gruppenkohomologie)

Ist speziell L = Ksep ein separabler Abschluss von K, so schreibt man auch

H ∗ ( K , A ) = H ∗ ( G K , A ) = H ∗ ( G a l ( K s e p | K ) , A ) . {\displaystyle \,H^{*}(K,A)=H^{*}(G_{K},A)=H^{*}(\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {sep} }|K),A).}

Eines der ersten Resultate der Galoiskohomologie ist Hilberts Satz 90, der besagt:

H 1 ( K , ( K s e p ) × ) = 0 {\displaystyle H^{1}(K,(K^{\mathrm {sep} })^{\times })=0} .

Vor allem in der Klassenkörpertheorie ist die Beziehung zwischen Galoiskohomologie und Brauergruppe wichtig:

H 2 ( K , ( K s e p ) × ) = B r ( K ) {\displaystyle H^{2}(K,(K^{\mathrm {sep} })^{\times })=\mathrm {Br} (K)} .

Literatur

  • Jean Pierre Serre: Galois cohomology. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42192-0.