Frobenius-Reziprozität ist ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie. Er setzt induzierte Darstellungen und die Einschränkung von Darstellungen miteinander in Beziehung.
Die Frobenius-Reziprozität sagt uns einerseits, dass die Abbildungen
und
adjungiert zueinander sind. Betrachten wir andererseits mit
eine irreduzible Darstellung von
und sei
eine irreduzible Darstellung von
dann erhalten wir mit der Frobenius-Reziprozität außerdem, dass
so oft in
enthalten ist wie
in
Sie ist nach Ferdinand Georg Frobenius benannt.
Notation
Mit Hilfe der Einschränkung (engl.: restriction) kann man aus einer Darstellung
einer Gruppe
eine Darstellung
einer Untergruppe
erhalten. Umgekehrt kann man aus einer gegebenen Darstellung
einer Untergruppe
die sogenannte induzierte Darstellung
der ganzen Gruppe
erhalten.
Für Darstellungen und ihre Charaktere wie auch allgemeiner für Klassenfunktionen ist ein Skalarprodukt definiert. Die allgemeine Form der Frobeniusreziprozität verwendet das Skalarprodukt von Klassenfunktionen.
Frobenius-Reziprozität
Sei
eine endliche Gruppe und
eine Untergruppe. Seien
Klassenfunktionen, dann gilt
![{\displaystyle \langle \psi ,{\text{Res}}\varphi \rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}\psi ,\varphi \rangle _{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36225bb0163cb45ab8e3f346cdda3c4c4361629)
Die Aussage gilt insbesondere für das Skalarprodukt von Charakteren von Darstellungen.
Beweis
Da sich jede Klassenfunktion als Linearkombination irreduzibler Charaktere schreiben lässt, und
eine Bilinearform ist, können wir ohne Einschränkung
bzw.
als Charakter einer irreduziblen Darstellung von
in
bzw. von
in
annehmen. Wir setzen
für ![{\displaystyle s\in G\setminus H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efa61e66246fff1950621928434ec6083d79ed8)
Dann gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\text{Ind}}(\psi )(t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (s^{-1}ts)\varphi ((s^{-1}ts)^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t){\text{Res}}(\varphi )(t^{-1})\\&=\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe77f779d105d0eab2f478c1e5de94db277cad6f)
Dabei haben wir nur die Definition der Induktion auf Klassenfunktionen eingesetzt und die Eigenschaften der Charaktere ausgenutzt.
Alternativer Beweis
In der alternativen Beschreibung der induzierten Darstellung über die Gruppenalgebra, ist die Frobeniusreziprozität ein Spezialfall der Gleichung für den Wechsel zwischen Ringen:
![{\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} [H]}(W,U)={\text{Hom}}_{\mathbb {C} [G]}(\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,U).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e23a422cc2a96110a0d6c3e3d11a6e7ce08c20)
Diese Gleichung ist per definitionem äquivalent zu
![{\displaystyle \langle W,{\text{Res}}(U)\rangle _{H}=\langle W,U\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(W),U\rangle _{G}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fae7e2065f80d672b2fe909ce395be6f9ff81fe)
Und da diese Bilinearform mit der Bilinearform auf den dazugehörigen Charakteren übereinstimmt, folgt der Satz ganz ohne Nachrechnen.
Frobenius-Reziprozität für kompakte Gruppen
Die Frobenius-Reziprozität überträgt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen, wobei der Satz anstatt für Klassenfunktionen hier für quadratisch integrierbare Funktionen auf
gilt und die Untergruppe
abgeschlossen sein muss.
Weblinks
- Frobenius reciprocity (nLab)