Bertrandsches Postulat

Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl n > 1 {\displaystyle n>1} mindestens eine Primzahl p {\displaystyle p} mit n < p < 2 n {\displaystyle n<p<2\,n} existiert.

Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies.[1] Den ersten vollständigen Beweis für alle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später.[2] Einen weiteren, einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S. Ramanujan an, der dabei auch Ramanujan-Primzahlen einführte.[3] 1932 lieferte auch Paul Erdős einen einfachen Beweis.

Ramanujan bewies eine Verallgemeinerung, die Existenz von Ramanujan-Primzahlen R n {\displaystyle R_{n}} , so dass für alle x ≥ R n {\displaystyle x\geq R_{n}} zwischen x {\displaystyle x} und x 2 {\displaystyle {\frac {x}{2}}} mindestens n {\displaystyle n} Primzahlen liegen.

Beweis für n ≤ 4000

Für die ersten 4000 natürlichen Zahlen lassen sich einfach Primzahlen angeben, sodass die Behauptung gilt. In der Folge

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 23 , 43 , 83 , 163 , 317 , 631 , 1259 , 2503 , 4001 {\displaystyle 2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503,4001} (Folge A295262 in OEIS)

von Primzahlen ist jedes Folgenglied kleiner als das Doppelte des vorhergehenden. Somit gilt die Behauptung für n ≤ 4000. {\displaystyle n\leq 4000.}

Literatur

  • Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42535-7 (3. Auflage: ISBN 978-3-642-02258-6).

Einzelnachweise

  1. ↑ J. Bertrand: Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme. In: Journal de l’École Royale Polytechnique. 30 (18), 1845, S. 123–140 (französisch).
  2. ↑ Tchebichef: Mémoire sur les nombres premiers. (1850), Mémoires de l’académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg 7, 1854, S. 17–33; Journal de mathématiques pures et appliquées 1re série 17, 1852, S. 366–390.
    In: A. Markoff, N. Sonin (Hrsg.): Oeuvres de P. L. Tchebychef. Tome I. St.-Pétersbourg 1899, S. 51–70 (französisch; im Internet-Archiv).
  3. ↑ S. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11, 1919, S. 181–182 (englisch).
  • Eric W. Weisstein: Bertrand’s Postulate. In: MathWorld (englisch).