Austauschbare σ-Algebra

Die austauschbare σ-Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der Stochastik, dessen Elemente invariant unter gewissen Permutationen sind. Austauschbare σ-Algebren treten beispielsweise im Kontext von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen oder dem 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage auf.

Gegeben sei ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, wobei jedes ${\displaystyle X_{n}}$ Werte in ${\displaystyle E}$ habe. Sei

${\displaystyle \mathbf {F} _{n}:=\{f\,|\,f:E^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R} {\text{ ist messbar und n-symmetrisch }}\}}$

die Menge aller messbaren n-symmetrischen Abbildungen.

Definiere

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}:=\sigma (\mathbf {F} _{n})}$

die von diesen Funktionen erzeugte σ-Algebra. Dann ist

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}:=X^{-1}({\mathcal {S}}_{n})}$

die σ-Algebra aller unter Permutationen der ersten ${\displaystyle n}$ Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse. Die austauschbare σ-Algebra ist dann definiert als

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {E}}_{n}}$

und somit die σ-Algebra aller unter Permutationen endlich vieler Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse.

Die terminale σ-Algebra ist stets in der austauschbaren σ-Algebra enthalten, denn mit der Darstellung für die terminale σ-Algebra

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )}$

ist immer

${\displaystyle \sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset {\mathcal {E}}_{n}}$

und damit

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset \bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {E}}_{n}={\mathcal {E}}}$.

Es lassen sich auch Beispiele konstruieren, bei denen die austauschbare σ-Algebra Mengen enthält, die nicht in der terminalen σ-Algebra enthalten sind. Die austauschbare σ-Algebra ist dann echt größer als die terminale σ-Algebra. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn ${\displaystyle |E|>1}$ ist, da dann ein ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(E)\setminus \{\emptyset ,E\}}$ existiert und ${\displaystyle S=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbf {1} _{B}(X_{i})}$ zwar ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-messbar ist, aber ${\displaystyle \{S=s\}\notin {\mathcal {T}}}$ für ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$. Hier ist die Inklusion strikt.

Umgekehrt lässt sich zeigen, dass für eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots )}$ zu jeder Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {E}}}$ ein terminales Ereignis ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$ existiert, so dass ${\displaystyle P(A\,\triangle \,B)=0}$ (der umgekehrte Schluss ist wegen ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {E}}}$ trivial). Zu jeder Menge aus der austauschbaren σ-Algebra existiert also eine Menge in der terminalen σ-Algebra, so dass die Differenz eine Nullmenge wird.

Daraus lässt sich sofort das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ableiten, nämlich dass die austauschbare σ-Algebra einer unabhängig identisch verteilten Folge von Zufallsvariablen eine P-triviale σ-Algebra ist. Nach dem kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz ist dann nämlich die terminale σ-Algebra P-trivial und aufgrund des obigen Ergebnisses auch die austauschbare σ-Algebra.

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 237–247, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.