Poissonova rovnice

Poissonovou rovnicí nazýváme obecně nehomogenní parciální diferenciální rovnici:

${\displaystyle \Delta u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$,

kde ${\displaystyle \Delta }$ označuje tzv. Laplaceův operátor:

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$

pro ${\displaystyle n\geq 2}$.

Např. Poissonova rovnice pro proměnné ${\displaystyle x,y,z}$ má tvar

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f(x,y,z)}$.

Poissonova rovnice je parciální diferenciální rovnice eliptického typu. Jedná se o stacionární difuzní rovnici. Poissonova rovnice platí např. pro klasický potenciál gravitačního resp. elektrostatického pole, na pravé straně je hustota (látky resp. elektrostatického náboje).

Speciálním případem Poissonovy rovnice je homogenní Laplaceova rovnice:

${\displaystyle \Delta u=0}$,

kde ${\displaystyle \Delta }$ je Laplaceův operátor.

Odkazy

Související články

• Harmonická funkce
• Laplaceův operátor
• Difuzní rovnice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Poissonova rovnice na Wikimedia Commons

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.