Laguerrovy polynomy , pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.
Definice Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu
( p , q ) ↦ ∫ 0 ∞ p ( x ) q ( x ) e − x d x , {\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)e^{-x}dx,} přičemž n-tý Laguerrův polynom L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} n [1]
Obecnějším způsobem jako soustavu polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu
( p , q ) ↦ ∫ 0 ∞ p ( x ) q ( x ) x a e − x d x {\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)x^{a}e^{-x}dx} s a > − 1 {\displaystyle a>-1} zobecněné či přidružené Laguerrovy polynomy L n ( a ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)}
Další vztahy pro Laguerrovy polynomy L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} L n ( a ) {\displaystyle L_{n}^{(a)}}
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( x n e − x ) , {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}\mathrm {e} ^{-x}),} L n ( a ) ( x ) = x − a e x n ! d n d x n ( x n + a e − x ) . {\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)={\frac {x^{-a}\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n+a}\mathrm {e} ^{-x}).} Explicitně se dají definovat vztahy
L n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k , {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},} L n ( a ) ( x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n + a n − k ) x k k ! . {\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+a \choose n-k}{\frac {x^{k}}{k!}}.} Někteří autoři[2] n ! {\displaystyle n!}
L n ( x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k n 2 ( n − 1 ) 2 ⋯ ( k + 1 ) 2 ( n − k ) ! x k . {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{k}{\frac {n^{2}{(n-1)}^{2}\cdots {(k+1)}^{2}}{(n-k)!}}x^{k}.} Vlastnosti Laguerrovy polynomy L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} Laguerrovy diferenciální rovnice [2]
x y ′ ′ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle xy^{\prime \prime }+(1-x)y^{\prime }+ny=0} Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.
Laguerrovy polynomy v nízkých dimenzích Prvních šest Laguerrových polynomů Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:
n L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 − x + 1 {\displaystyle -x+1\,} 2 1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,} 3 1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,} 4 1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,} 5 1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}({\scriptstyle -x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}\,} 6 1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}({\scriptstyle x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720})\,}
Reference ↑ SZEGÖ, Gábor. Orthogonal polynomials . [s.l.]: AMS Bookstore, 1939. 432 s. ISBN 0-8218-1023-5 ↑ a b REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky . Praha: SNTL, 1981. S. 607. Související články Externí odkazy Obrázky, zvuky či videa k tématu Laguerrovy polynomy na Wikimedia Commons Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Portály: Matematika
Obrázky, zvuky či videa k tématu Laguerrovy polynomy na Wikimedia Commons 
