Hypotéza singulárních kardinálů

Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.

Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:

Formulace hypotézy

Pro každý singulární kardinál ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!} platí
ℷ ( ℵ α ) = m a x ( ℵ α + 1 , 2 c f ( ℵ α ) ) {\displaystyle \gimel (\aleph _{\alpha })=max(\aleph _{\alpha +1},2^{cf(\aleph _{\alpha })})\,\!}

  • ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!} je zápis pro funkci alef používanou pro označování nekonečných kardinálů
  • ℷ {\displaystyle \gimel \,\!} je zápis pro funkci gimel
  • c f ( ℵ α ) {\displaystyle cf(\aleph _{\alpha })\,\!} je zápis pro kofinál kardinálního čísla

Hypotézu lze ekvivalentně formulovat také:

  • Jestliže pro nekonečné kardinální číslo κ {\displaystyle \kappa } platí nerovnost 2 cf ⁡ κ < κ {\displaystyle 2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa } , pak κ cf ⁡ κ = κ + {\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}} , kde κ + {\displaystyle \kappa ^{+}} značí následníka κ {\displaystyle \kappa } .


Postavení hypotézy v teorii množin

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu – tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.
SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF – to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence – SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

Význam hypotézy

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!} a ℵ β {\displaystyle \aleph _{\beta }\,\!} libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí:

  • ℵ α ℵ β = 2 ℵ β {\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}\,\!} , pokud ℵ α ≤ 2 ℵ β {\displaystyle \aleph _{\alpha }\leq 2^{\aleph _{\beta }}\,\!}
  • ℵ α ℵ β = ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }\,\!} , pokud ℵ α > 2 ℵ β {\displaystyle \aleph _{\alpha }>2^{\aleph _{\beta }}\,\!} a ℵ β < c f ( ℵ α ) {\displaystyle \aleph _{\beta }<cf(\aleph _{\alpha })\,\!}
  • ℵ α ℵ β = ℵ α + 1 {\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}\,\!} , pokud ℵ α > 2 ℵ β {\displaystyle \aleph _{\alpha }>2^{\aleph _{\beta }}\,\!} a c f ( ℵ α ) ≤ ℵ β {\displaystyle cf(\aleph _{\alpha })\leq \aleph _{\beta }\,\!}

Související články