Grashofovo číslo

Grashofovo číslo (Gr) je podobnostní číslo v dynamice tekutin a přenosu tepla, které udává poměr vztlaku a viskózní síly působící na kapalinu. Často se objevuje při popisu volné konvekce. Je pojmenované po německém inženýrovi Franzi Grashofovi.

Použití

Grashofovo číslo je:

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$ pro svislou desku

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$ pro trubku

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$ pro obtékaná tělesa

kde:

g je gravitační zrychlení

β je teplotní součinitel objemové roztažnosti (přibližně rovný 1/T pro ideální plyny)

T_s je povrchová teplota

T_∞ je průměrná teplota

L je výška desky

D je vnitřní průměr

ν je kinematická viskozita.

Indexy L a D naznačují charakteristický rozměr.

Přechod k turbulentnímu proudění dochází při 10⁸ < Gr_L < 10⁹ pro přirozenou konvekci na svislé stěně. Při vyšších Grashofových číslech je mezní vrstva turbulentní a při nižších laminární.

Grashofovo číslo spolu s Prandtlovým číslem dává Rayleighovo číslo, bezrozměrnou veličinu charakterizující konvekci v přenosu tepla.

Přenos hmoty

Existuje analogická forma Grashofova čísla používaná v případech volné konvekce v přenosu hmoty.

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}}$

kde:

${\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}}$

a:

g je gravitační zrychlení

C_a,s je koncentrace a na povrchu

C_a,a je koncentrace a v okolním médiu

L je charakteristická délka

ν je kinematická viskozita

ρ je hustota kapaliny

C_a je koncentrace a

T je teplota (konstantní)

p je tlak (konstantní).

Derivace

Prvním krokem k derivaci Grashofova čísla je úprava koeficientu objemové roztažnosti, ${\displaystyle \mathrm {\beta } }$.

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {-1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}}$

Měli byste mít na paměti, že ${\displaystyle v}$ ve výše uvedené rovnici zastupuje měrný objem, a není stejné jako ${\displaystyle v}$ v následující sekci, které reprezentuje rychlost. Vztah, dávající do souvislosti koeficient objemové roztažnosti ${\displaystyle \mathrm {\beta } }$ a hustotu ${\displaystyle \mathrm {\rho } }$ při konstantním tlaku, může být zapsán jako:

${\displaystyle \rho =\rho _{o}(1-\beta \Delta T)}$

kde:

${\displaystyle \rho _{o}}$ je průměrná hustota tekutiny

${\displaystyle \rho }$ je hustota mezní vrstvy tekutiny

${\displaystyle \Delta T=(T-T_{o})}$ je teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a tekutinou

Existují dva způsoby, jak zjistit Grashofovo číslo. První využívá bilanci energie, zatímco druhý využívá vztlakovou sílu díky rozdílu hustoty mezi mezní vrstvou a zbytkem tekutiny.

Energetická bilance

Využíváme bilanci energie pro rotačně symetrické proudění. Tato analýza v sobě zahrnuje jak gravitační zrychlení, tak i přenos tepla. Matematické rovnice dále charakterizují jak rotačně symetrické proudění, tak dvourozměrné rovinné proudění.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{o}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{o}^{n})=0}$

kde:

${\displaystyle s}$ je směr rotace, tj. směr rovnoběžný s povrchem

${\displaystyle u}$ je tangenciální rychlost, tj. rychlost rovnoběžná s povrchem

${\displaystyle y}$ je vektor roviny, tj. směr kolmý na povrch

${\displaystyle v}$ je normálová rychlost, tj. rychlost kolmá na povrch

${\displaystyle r_{o}}$ je poloměr.

V této rovnici horní index n určuje, zda se jedná o rotačně symetrický proudění nebo rovinné proudění.

${\displaystyle n}$ = 1: rotačně symetrické proudění

${\displaystyle n}$ = 0: rovinné, dvoufázové proudění

${\displaystyle g}$ je gravitační zrychlení

Tato rovnice se rozšíří o fyzikální vlastnosti tekutiny:

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$

Kde můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti tím, že položíme rychlost celé tekutiny rovnou 0 (u = 0).

${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{o}g}$

Tento vztah ukazuje, že gradient tlaku je dán pouze rozdílem hustoty kapaliny a gravitačním zrychlením. Dalším krokem je vložení gradientu tlaku do rovnice hybnosti.

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g\beta (T-T_{o})}$

Další zjednodušení rovnice hybnosti dosáhneme dosazením koeficientu objemové roztažnosti místo rozdílu hustot ${\displaystyle \rho _{o}-\rho =\beta \rho (T-T_{o})}$, a vztahem pro kinematickou viskozitu, ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$.

${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g\beta (T-T_{o})}$

Pro zjištění Grashofova čísla musí být výše uvedená rovnice bezrozměrná. To znamená, že žádná proměnná v rovnici nesmí obsahovat rozměr, a namísto toho má obsahovat charakteristické poměry pro uvedený případ. Toho se dosáhne podělením všech proměnných příslušnými konstantními množstvími. Délky jsou poděleny charakteristickou délkou, ${\displaystyle L_{c}}$. Rychlosti jsou poděleny příslušnými referenčními rychlostmi, ${\displaystyle V}$, které berou v úvahu Reynoldsovo číslo ${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$. Teploty jsou poděleny vhodnými rozdíly teplot, ${\displaystyle (T_{s}-T_{o})}$. Tyto bezrozměrné parametry vypadají pak takto:

${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$,

${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$,

${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$,

${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$,

${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{o})}{(T_{s}-T_{o})}}}$.

Hvězdičky představují bezrozměrné parametry. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dostáváme následující zjednodušenou rovnici.

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{o})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

kde:

${\displaystyle T_{s}}$ je povrchová teplota

${\displaystyle T_{o}}$ je teplota kapaliny

${\displaystyle L_{c}}$ je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr v hranaté závorce v předchozí rovnici je Grashofovo číslo:

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{o})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

Buckinghamův Pi Teorém

Další formovou bezrozměrné analýzy, kterou získáme Grashofovo číslo, je známý jako Buckinghamův Pi Teorém. Tato metoda zahrnuje vztlakovou sílu každého objemu ${\displaystyle F_{b}}$ díky rozdílu hustoty v mezní vrstvě a zbytku kapaliny.

${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{o})g}$

Tato rovnice může být upravena:

${\displaystyle F_{b}=\beta g\rho _{o}\Delta T.}$

Seznam použitých proměnných v této metodě je umístěn níže.

Proměnná	Symbol	Rozměr
Charakteristická délka	${\displaystyle L}$	${\displaystyle \mathrm {L} }$
Viskozita tekutiny	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {M}{Lt}} }$
Tepelná kapacita tekutiny	${\displaystyle c_{p}}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{MT}} }$
Tepelná vodivost tekutiny	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{LtT}} }$
Koeficient objemové roztažnosti	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{T}} }$
Gravitační zrychlení	${\displaystyle g}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{t^{2}}} }$
Rozdíl teplot	${\displaystyle \Delta T}$	${\displaystyle \mathrm {T} }$
Součinitel přestupu tepla	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}} }$

S ohledem na Buckinghamův pi teorém existuje 9 – 5 = 4 bezrozměrných skupin. Vybereme-li L, ${\displaystyle \mu ,\lambda }$, g a ${\displaystyle \beta }$ jako referenční proměnné, pak skupiny ${\displaystyle \pi }$ jsou následující:

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}\lambda ^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$,

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}\lambda ^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$,

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}\lambda ^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}\lambda ^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$.

Vyřešením těchto skupin ${\displaystyle \pi }$ dostaneme:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{\lambda }}=Pr}$,

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$,

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {\alpha L}{\lambda }}=Nu}$

Ze dvou skupin ${\displaystyle \pi _{2}}$ a ${\displaystyle \pi _{3},}$ získáme Grashofovo číslo:

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

Použitím ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ a ${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{o})}$ může být předchozí rovnice přepsána na stejný výsledek jako při derivování Grashofova čísla z bilance energie.

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

Při nucené konvekci řídí Reynoldsovo číslo proudění tekutiny, ale při přirozené konvekci tuto funkci zastává Grashofovo číslo.

Reference

• Jaluria, Yogesh. Natural Convection Heat and Mass Transfer (New York: Pergamon Press, 1980).
• Cengel, Yunus A. Heat and Mass Transfer: A Practical Approach, 3rd Edition (Boston: McGraw Hill, 2003).
• Eckert, Ernst R. G. and Drake, Robert M. Analysis of Heat and Mass Transfer (New York: McGraw Hill, 1972).
• Welty, James R. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer (New York: John Wiley & Sons, 1976).