Eulerův vzorec

Tento článek je o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \,\!}

Na Eulerův vzorec je zvykem nahlížet jako na větu komplexní analýzy.

Význam vzorce

Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu, umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.

Důkaz

Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:

e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n !  pro  x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots ={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}

Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + ib, kde i je imaginární jednotka). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:

e i b = ( i b ) 0 0 ! + ( i b ) 1 1 ! + ( i b ) 2 2 ! + ( i b ) 3 3 ! + ⋯ = i 0 b 0 0 ! + i 1 b 1 1 ! + i 2 b 2 2 ! + i 3 b 3 3 ! + ⋯ = b 0 0 ! + i b 1 1 ! + i 2 b 2 2 ! + i . i 2 b 3 3 ! + ⋯ {\displaystyle e^{ib}={\frac {{(ib)}^{0}}{0!}}+{\frac {{(ib)}^{1}}{1!}}+{\frac {{(ib)}^{2}}{2!}}+{\frac {{(ib)}^{3}}{3!}}+\cdots ={\frac {i^{0}b^{0}}{0!}}+{\frac {i^{1}b^{1}}{1!}}+{\frac {i^{2}b^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}b^{3}}{3!}}+\cdots ={\frac {b^{0}}{0!}}+{\frac {ib^{1}}{1!}}+{\frac {i^{2}b^{2}}{2!}}+{\frac {i.i^{2}b^{3}}{3!}}+\cdots }

Využijeme toho, že i2 = -1:

e i b = b 0 0 ! + i b 1 1 ! + ( − 1 ) b 2 2 ! + i ( − 1 ) b 3 3 ! + ⋯ {\displaystyle e^{ib}={\frac {b^{0}}{0!}}+{\frac {ib^{1}}{1!}}+{\frac {(-1)b^{2}}{2!}}+{\frac {i(-1)b^{3}}{3!}}+\cdots }

Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:

e i b = ( b 0 0 ! − b 2 2 ! + ⋯ ) + i ( b 1 1 ! − b 3 3 ! + ⋯ ) {\displaystyle e^{ib}=\left({\frac {b^{0}}{0!}}-{\frac {b^{2}}{2!}}+\cdots \right)+i\left({\frac {b^{1}}{1!}}-{\frac {b^{3}}{3!}}+\cdots \right)}

Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b:

cos ⁡ b = b 0 0 ! − b 2 2 ! + b 4 4 ! − b 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n b 2 n ( 2 n ) !  pro  b ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \cos b={\frac {b^{0}}{0!}}-{\frac {b^{2}}{2!}}+{\frac {b^{4}}{4!}}-{\frac {b^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {b^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}b\in (-\infty ,\infty )}
sin ⁡ b = b 1 1 ! − b 3 3 ! + b 5 5 ! − b 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n b 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !  pro  b ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \sin b={\frac {b^{1}}{1!}}-{\frac {b^{3}}{3!}}+{\frac {b^{5}}{5!}}-{\frac {b^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {b^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}b\in (-\infty ,\infty )}

čímž dostáváme Eulerův vzorec:

e i b = cos ⁡ ( b ) + i sin ⁡ ( b ) {\displaystyle e^{ib}=\cos(b)+i\sin(b)}

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je x {\displaystyle x} číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.

Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec e r + s = e r . e s {\displaystyle e^{r+s}=e^{r}.e^{s}} :

e a + i b = e a . ( cos ⁡ b + i sin ⁡ b ) {\displaystyle e^{a+ib}=e^{a}.(\cos b+i\sin b)}

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Pahýl
Pahýl
 Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.