Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo nebo metoda determinantů je matematický vzorec pro popis řešení soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí determinantů matice soustavy a matic z ní získaných nahrazením jednoho sloupce vektorem pravých stran. Je pojmenována po Gabrielu Cramerovi (1704–1752), který v roce 1750 publikoval pravidlo pro libovolný počet neznámých.[1]

Cramerovo pravidlo má především teoretický význam, protože výpočet mnoha determinantů obvyklým způsobem je výpočetně náročný. V praxi se proto pro řešení soustav používají jiné metody numerické matematiky.

Znění

Nechť čtvercová matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} řádu n {\displaystyle n} je matici soustavy n {\displaystyle n} lineárních rovnic o n {\displaystyle n} neznámých (čili počet neznámých i rovnic je shodný). Nechť A i {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}} je matice, získaná z matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} nahrazením i {\displaystyle i} -tého sloupce sloupcem pravých stran.

Konkrétně, pro matici soustavy A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}} a vektor pravých stran b = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) {\displaystyle {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}

má A i {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}} tvar:

A i = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 , i − 1 b 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 , i − 1 b 2 a 2 , i + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n , i − 1 b n a n , i + 1 ⋯ a n n ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}

Pokud je matice soustavy A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} regulární, pak má soustava právě jedno řešení. Jednotlivé složky řešení x = ( x 1 , … , x n ) T {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathrm {T} }} jsou určeny podíly [2]

x i = det A i det A {\displaystyle x_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}} .

Konkrétně, pro soustavu o dvou neznámých

a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 {\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}a_{11}\,x_{1}&+&{a_{12}}\,x_{2}&=&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}\,x_{1}&+&{a_{22}}\,x_{2}&=&\color {green}{b_{2}}\end{array}}}

s rozšířenou matici soustavy

( A | b ) = ( a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}{a_{11}}&{a_{12}}&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\color {green}{b_{2}}\end{array}}\right)}

je řešení dáno vzorci:

x 1 = det A 1 det A = | b 1 a 12 b 2 a 22 | | a 11 a 12 a 21 a 22 | = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 {\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}b_{1}&a_{12}\\\color {green}b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}b_{1}}{a_{22}}-{a_{12}}{\color {green}b_{2}}}{{a_{11}}{a_{22}}-{a_{12}}{a_{21}}}}} a
x 2 = det A 2 det A = | a 11 b 1 a 21 b 2 | | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 b 2 − b 1 a 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 {\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}{a_{11}}&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}&\color {green}{b_{2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}={\frac {{a_{11}}{\color {green}{b_{2}}}-{\color {green}{b_{1}}}{a_{21}}}{{a_{11}}{a_{22}}-{a_{12}}{a_{21}}}}}

Pravidlo platí nejen v oboru reálných či komplexních čísel, ale i pro soustavy lineárních rovnic s koeficienty a neznámými v libovolném tělese.

Ukázky

Soustava o dvou neznámých

Reálná soustava lineárních rovnic:

1 x 1 + 2 x 2 = 3 4 x 1 + 5 x 2 = 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}{1}\,x_{1}&+&{2}\,x_{2}&=&\color {green}{3}\\{4}\,x_{1}&+&{5}\,x_{2}&=&\color {green}{6}\end{array}}}

dává rozšířenou matici soustavy:

( A | b ) = ( 1 2 3 4 5 6 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}{1}&{2}&\color {green}{3}\\{4}&{5}&\color {green}{6}\end{array}}\right)}

Podle Cramerova pravidla je řešení soustavy určeno podíly:

x 1 = det A 1 det A = | 3 2 6 5 | | 1 2 4 5 | = 3 ⋅ 5 − 2 ⋅ 6 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 = 3 − 3 = − 1 {\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}3&2\\\color {green}6&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}3}\cdot {5}-{2}\cdot {\color {green}6}}{{1}\cdot {5}-{2}\cdot {4}}}={\frac {3}{-3}}=-1}
x 2 = det A 2 det A = | 1 3 4 6 | | 1 2 4 5 | = 1 ⋅ 6 − 3 ⋅ 4 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 = − 6 − 3 = 2 {\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}{1}&\color {green}{3}\\{4}&\color {green}{6}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{1}&{2}\\{4}&{5}\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {\color {green}{6}}-{\color {green}{3}}\cdot {4}}{{1}\cdot {5}-{2}\cdot {4}}}={\frac {-6}{-3}}=2}

Soustava o třech neznámých

Pro soustavu lineárních rovnic:

x 1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 7 2 x 1 + 3 x 2 = 4 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 9 {\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcr}x_{1}&+&2\,x_{2}&+&5\,x_{3}&=&\color {green}7\\2\,x_{1}&+&3\,x_{2}&&&=&\color {green}4\\3\,x_{1}&+&5\,x_{2}&+&3\,x_{3}&=&\color {green}9\\\end{array}}}

s rozšířenou maticí

( A | b ) = ( 1 2 5 7 2 3 0 4 3 5 3 9 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&5&\color {green}7\\2&3&0&\color {green}4\\3&5&3&\color {green}9\end{array}}\right)}

jsou složky řešení podle Cramerova pravidla dána podíly:

x 1 = det A 1 det A = | 7 2 5 4 3 0 9 5 3 | | 1 2 5 2 3 0 3 5 3 | = 7 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⋅ 9 + 5 ⋅ 4 ⋅ 5 − 7 ⋅ 0 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅ 9 1 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 ⋅ 5 − 1 ⋅ 0 ⋅ 5 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = 4 2 = 2 {\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}7&2&5\\\color {green}4&3&0\\\color {green}9&5&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}7}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {\color {green}9}+{5}\cdot {\color {green}4}\cdot {5}-{\color {green}7}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {\color {green}9}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {4}{2}}=2}
x 2 = det A 2 det A = | 1 7 5 2 4 0 3 9 3 | | 1 2 5 2 3 0 3 5 3 | = 1 ⋅ 4 ⋅ 3 + 7 ⋅ 0 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 ⋅ 9 − 1 ⋅ 0 ⋅ 9 − 7 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ 4 ⋅ 3 1 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 ⋅ 5 − 1 ⋅ 0 ⋅ 5 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = 0 2 = 0 {\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}1&\color {green}7&5\\2&\color {green}4&0\\3&\color {green}9&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}+{\color {green}7}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {\color {green}9}-{1}\cdot {0}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {0}{2}}=0}
x 3 = det A 3 det A = | 1 2 7 2 3 4 3 5 9 | | 1 2 5 2 3 0 3 5 3 | = 1 ⋅ 3 ⋅ 9 + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 + 7 ⋅ 2 ⋅ 5 − 1 ⋅ 4 ⋅ 5 − 2 ⋅ 2 ⋅ 9 − 7 ⋅ 3 ⋅ 3 1 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 ⋅ 5 − 1 ⋅ 0 ⋅ 5 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 2 = 1 {\displaystyle x_{3}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{3}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}1&2&\color {green}7\\2&3&\color {green}4\\3&5&\color {green}9\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {3}\cdot {\color {green}9}+{2}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}+{\color {green}7}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {\color {green}4}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {3}\cdot {3}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {2}{2}}=1}

Důkaz

Řešení soustavy splňuje vztah

x 1 ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) + x 2 ( a 12 a 22 ⋮ a m 2 ) + ⋯ + x n ( a 1 n a 2 n ⋮ a m n ) = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) {\displaystyle x_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}} ,

neboli ∑ j = 1 n x j a j = b {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {a}}_{j}={\boldsymbol {b}}} , kde a j {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{j}} značí j {\displaystyle j} -tý sloupec matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} .

Pro matici A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} , sloupcový index i {\displaystyle i} a libovolný vektor v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} značí symbol A [ a i / v ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {v}}]} matici, která vznikne z A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} nahrazením jejího i {\displaystyle i} -tého sloupce vektorem v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} . Mimo jiné platí již dříve zavedená notace A i = A [ a i / b ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}={\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {b}}]} .

Cramerovo pravidlo vyplývá ze dvou vlastností determinantu:

  • Determinant je multilineární vzhledem ke sloupcům (i řádkům) matice, tj. lineární vůči každému jednotlivému sloupci (řádku) a
  • je alternující vzhledem k pořadí sloupů (řádků), což má mimo jiné za následek, že determinant matice se dvěma shodnými sloupci (řádky) je nulový.

Z linearity determinantu vyplývá:

det A i = det ( A [ a i / b ] ) = det ( A [ a i / ∑ j = 1 n x j a j ] ) = det ( ∑ j = 1 n x j A [ a i / a j ] ) = ∑ j = 1 n x j det ( A [ a i / a j ] ) {\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {b}}])=\det {\biggl (}{\boldsymbol {A}}{\biggl [}{\boldsymbol {a}}_{i}{\bigg /}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {a}}_{j}{\biggr ]}{\biggr )}=\det {\biggl (}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])}

V rozvinutém tvaru lze tento krok zapsat:

| a 11 ⋯ a 1 , i − 1 b 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 b n a n , i + 1 ⋯ a n n | = | a 11 ⋯ a 1 , i − 1 ∑ j = 1 n x j a 1 j a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 ∑ j = 1 n x j a n j a n , i + 1 ⋯ a n n | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{1j}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{nj}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}
= x 1 | a 11 ⋯ a 1 , i − 1 a 11 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 a n 1 a n , i + 1 ⋯ a n n | + … x i − 1 | a 11 ⋯ a 1 , i − 1 a 1 , i − 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 a n , i − 1 a n , i + 1 ⋯ a n n | {\displaystyle =x_{1}{\begin{vmatrix}\color {green}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{11}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\color {green}\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\color {green}a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{n1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots x_{i-1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &\color {green}a_{1,i-1}&\color {green}a_{1,i-1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\color {green}\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &\color {green}a_{n,i-1}&\color {green}a_{n,i-1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}
+ x i | a 11 ⋯ a 1 , i − 1 a 1 i a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 a n i a n , i + 1 ⋯ a n n | {\displaystyle +x_{i}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&a_{1i}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&a_{ni}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}
+ x i + 1 | a 11 ⋯ a 1 , i − 1 a 1 , i + 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 a n , i + 1 a n , i + 1 ⋯ a n n | + ⋯ + x n | a 11 ⋯ a 1 , i − 1 a 1 n a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 a n n a n , i + 1 ⋯ a n n | {\displaystyle +x_{i+1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{1,i+1}&\color {green}a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\color {green}\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{n,i+1}&\color {green}a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{1n}&a_{1,i+1}&\cdots &\color {green}a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\color {green}\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{nn}&a_{n,i+1}&\cdots &\color {green}a_{nn}\\\end{vmatrix}}}

Matice A [ a i / a i ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{i}]} je totožná s A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} , protože fakticky nedošlo k žádnému nahrazení. Pro každé j ≠ i {\displaystyle j\neq i} má matice A [ a i / a j ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]} svůj i {\displaystyle i} -tý sloupec shodný s j {\displaystyle j} -tým (zvýrazněny zeleně) a její determinant je roven nule.

Po vyloučení nulových členů A [ a i / a j ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]} pro j ≠ i {\displaystyle j\neq i} se výraz redukuje na:

det A i = ∑ j = 1 n x j det ( A [ a i / a j ] ) = x i det A [ a i / a i ] = x i det A {\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{i}]=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}}

Odtud Cramerovo pravidlo vyplývá vydělením obou stran nenulovým výrazem det A {\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}} .

Krátký důkaz

Krátký důkaz Cramerova pravidla začíná pozorováním, že x i {\displaystyle x_{i}} je determinant matice X i {\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}} , která vznikne z jednotkové matice I {\displaystyle \mathbf {I} } nahrazením i {\displaystyle i} -tého sloupce e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} vektorem řešení x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} . V notaci předchozího důkazu jde o matici:

X i = I [ e i / x ] = ( 1 0 ⋯ x 1 ⋯ 0 0 1 ⋯ x 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ x n ⋯ 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}=\mathbf {I} [\mathbf {e} _{i}/{\boldsymbol {x}}]={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &x_{1}&\cdots &0\\0&1&\cdots &x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}&\cdots &1\end{pmatrix}}}

Za předpokladu, že původní matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} je regulární, lze sloupce matice X i {\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}} vyjádřit výrazy ( A − 1 a 1 , A − 1 a 2 , … , A − 1 a i − 1 , A − 1 b , A − 1 a i + 1 , … , A − 1 a n ) {\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{i-1},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{i+1},\ldots ,{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{n})} , kde a j {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{j}} je j {\displaystyle j} -tý sloupec matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} . Připomeňme, že sloupce matice A i {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}} jsou ( a 1 , a 2 , … , a i − 1 , b , a i + 1 , … , a n ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{i-1},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}}_{i+1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n})} , a proto X i = A − 1 A i {\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}_{i}} .

Zbývá využít fakt, že determinant součinu dvou matic je součinem determinantů, z čehož vyplývá:

x i = det X i = det ( A − 1 ) det A i = det A i det A . {\displaystyle x_{i}=\det {\boldsymbol {X}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}^{-1})\det {\boldsymbol {A}}_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}.}

Další verze důkazu

det A i det A = 1 det A | a 1 , 1 ⋯ a 1 , i − 1 b 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a j − 1 , 1 ⋯ a j − 1 , i − 1 b j − 1 a j − 1 , i + 1 ⋯ a j − 1 , n a j , 1 ⋯ a j , i − 1 b j a j , i + 1 ⋯ a j , n a j + 1 , 1 ⋯ a j + 1 , i − 1 b j + 1 a j + 1 , i + 1 ⋯ a j + 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , i − 1 b n a n , i + 1 ⋯ a n , n | = ∑ j = 1 n b j det A | a 1 , 1 ⋯ a 1 , i − 1 0 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a j − 1 , 1 ⋯ a j − 1 , i − 1 0 a j − 1 , i + 1 ⋯ a j − 1 , n a j , 1 ⋯ a j , i − 1 1 a j , i + 1 ⋯ a j , n a j + 1 , 1 ⋯ a j + 1 , i − 1 0 a j + 1 , i + 1 ⋯ a j + 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , i − 1 0 a n , i + 1 ⋯ a n , n | {\displaystyle {\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {b_{j}}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}}

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} označíme A j i {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{ji}} , pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

det A i det A = ∑ j = 1 n b j ( − 1 ) i + j det A j i det A {\displaystyle {\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ji}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}

Zlomek ve výrazu je prvkem ( A − 1 ) i , j {\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{-1})_{i,j}} inverzní matice A − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}} .

det A i det A = ∑ j = 1 n ( A − 1 ) i , j b j = ( A − 1 b ) i {\displaystyle {\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}=\sum _{j=1}^{n}({\boldsymbol {A}}^{-1})_{i,j}b_{j}=({\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}})_{i}}

Protože A x = b {\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}} a det A ≠ 0 {\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}\neq 0} , je x = A − 1 b {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}} a tedy

x i = det A i det A {\displaystyle x_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}

Výpočetní složitost

Cramerovo pravidlo implementované naivním způsobem je výpočetně neefektivní již pro soustavy s více než třemi rovnicemi.[3] V případě n {\displaystyle n} rovnic o n {\displaystyle n} neznámých vyžaduje výpočet n + 1 {\displaystyle n+1} determinantů, zatímco Gaussova eliminace dává výsledek se stejnou výpočetní složitostí jako výpočet jediného determinantu.[4][5]  Cramerovo pravidlo může být také numericky nestabilní i pro soustavy o dvou rovnicích.[6] Nedávno se však ukázalo, že Cramerovo pravidlo lze implementovat se stejnou složitostí jako Gaussova eliminace [7][8] (vyžaduje dvakrát tolik aritmetických operací a má stejnou numerickou stabilitu, pokud jsou použity stejné permutační matice).

Aplikace

Celočíselné programování

Cramerovo pravidlo lze použít k důkazu, že problém celočíselného programování, jehož matice omezení je totálně unimodulární a jehož pravá strana je celočíselná, má celočíselná bázická řešení, což výrazně usnadňuje řešení úlohy.

Obyčejné diferenciální rovnice

Cramerovo pravidlo se používá k odvození obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice metodou variace konstant.

Ricciho kalkul

Cramerovo pravidlo se používá v Ricciho kalkulu v různých výpočtech zahrnujících Christoffelovy symboly prvního a druhého druhu.[9]

Cramerovo pravidlo lze zejména využít v důkazu, že operátor divergence na Riemannově varietě je invariantní vzhledem ke změně souřadnic.

Historie

Cramerovo pravidlo publikoval v roce 1750 Gabriel Cramer ve své knize Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques.[1] V něm explicitně uvedl vzorce pro lineární soustavy rovnic až se třemi rovnicemi a popsal, jak lze vytvořit vzorce řešení pro soustavy rovnic s více rovnicemi. Protože determinant ještě nebyl zaveden, použil zlomky s polynomem v čitateli a jmenovateli. Jak ukazuje následující úryvek z původní práce, jsou totožné s polynomy Leibnizova vzorce .

Tento úryvek ukazuje, že Cramer ještě nepoužíval dnešní zápis soustav lineárních rovnic, protože v něm by vzorec zněl:

x 1 = b 1 a 22 a 33 − b 1 a 32 a 23 − b 2 a 12 a 33 + b 2 a 32 a 13 + b 3 a 12 a 23 − b 3 a 22 a 13 a 11 a 22 a 33 − a 11 a 32 a 23 − a 21 a 12 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 − a 31 a 22 a 13 {\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}a_{22}a_{33}-b_{1}a_{32}a_{23}-b_{2}a_{12}a_{33}+b_{2}a_{32}a_{13}+b_{3}a_{12}a_{23}-b_{3}a_{22}a_{13}}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}}}

Sám Cramer si byl vědom, že soustavy lineárních rovnic nemají vždy jednoznačné řešení.[10] Étienne Bézout pak v roce 1764 ukázal, pokud soustavu rovnic nelze jednoznačně vyřešit, je determinant matice soustavy (jmenovatel ve výše uvedeném výrazu) nulový.[10] Cramer svůj vzorec nijak nedokázal, to provedl až Augustin Louis Cauchy v roce 1815. Cauchy též zavedl dodnes používanou notaci pro zápis Cramerova pravidla.

Již v roce 1678 si Cramerovo pravidlo zapsal Gottfried Wilhelm Leibniz ve svém rukopise. Ten však byl objeven až později a neměl tak žádný vliv na vývoj metod řešení soustav lineárních rovnic.[10] Speciální případy Cramerova pravidla pro soustavy dvou nebo tří rovnic popsal Colin Maclaurin ve svém Pojednání o algebře, publikovaném v roce 1748. Přestože měl nápad rozšířit tyto vzorce i na soustavy rovnic s více rovnicemi, nenašel na rozdíl od Cramera žádné pravidlo, jak správně nastavit znaménka v použitých polynomech.[11] Carl Benjamin Boyer vyvolal ve 20. století spor mezi matematickými historiky, zda byl objevitelem vzorce Maclaurin nebo Cramer. Doporučil, aby pravidlo bylo přejmenováno na Maclaurinovo-Cramerovo.[12]

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Cramersche Regel na německé Wikipedii a Cramer's rule na anglické Wikipedii.

  1. ↑ a b Gabriel Cramer: Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Genf 1750, S. 657–659.
  2. ↑ Cramerovo pravidlo — Matematika polopatě. www.matweb.cz [online]. [cit. 2021-08-16]. Dostupné online. 
  3. ↑ David Poole. Linear Algebra: A Modern Introduction. [s.l.]: Cengage Learning, 2014. ISBN 978-1-285-98283-0. S. 276. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  4. ↑ Joe D. Hoffman; STEVEN FRANKEL. Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition. [s.l.]: CRC Press, 2001. ISBN 978-0-8247-0443-8. S. 30. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  5. ↑ Thomas S. Shores. Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. [s.l.]: Springer Science & Business Media, 2007. ISBN 978-0-387-48947-6. S. 132. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  6. ↑ Nicholas J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition. [s.l.]: SIAM, 2002. ISBN 978-0-89871-521-7. S. 13. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  7. ↑ Ken Habgood; ITAMAR AREL. A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems. Journal of Discrete Algorithms. 2012, s. 98–109. Dostupné online. DOI 10.1016/j.jda.2011.06.007. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  8. ↑ G.I.Malaschonok. Solution of a System of Linear Equations in an Integral Ring. USSR J. Of Comput. Math. And Math. Phys.. 1983, s. 1497–1500. arXiv 1711.09452. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  9. ↑ LEVI-CIVITA, Tullio. The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). [s.l.]: Dover, 1926. ISBN 9780486634012. S. 111–112. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  10. ↑ a b c Jean-Luc Chabert et al.: A History of Algorithms. From the Pebble to the Microchip. Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-63369-3, S. 284–287 (Tato kniha obsahuje anglický překlad Cramerovy původní publikace.).
  11. ↑ Antoni A. Kosinski: Cramer's Rule Is Due to cramer. In: Mathematics Magazine. Bd. 74, Nr. 4, Oktober 2001, S. 310–312.
  12. ↑ Bruce A. Hedman: An Earlier Date for „Cramer’s Rule“ In: Historica Mathematica. Bd. 24, 1999, S. 365–368.

Literatura

  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu Cramerovo pravidlo na Wikimedia Commons
  • Online výpočet soustav lineárních rovnic