Test de convergència

En matemàtiques, els tests de convergència són mètodes per avaluar la convergència, la convergència condicional, la convergència absoluta, l'interval de convergència o la divergència d'una sèrie infinita.

Llista de tests

• Límit del sumand. Si el límit del sumand és indefinit o diferent de zero, és a dir, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$, aleshores la sèrie divergeix. En aquest sentit, les sumes parcials són seqüències de Cauchy si i només si aquest límit existeix i és igual a zero. El test no és concloent si el límit del sumand és zero.
• Criteri de d'Alembert. Suposem que existeix ${\displaystyle r}$ tal que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir.

• Criteri de l'arrel de Cauchy. Definim r com:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

on "lim sup" denota el límit superior (possiblement ∞; si el límit existeix és el mateix valor).

Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir.

• Test de la integral (o criteri de la integral de Cauchy). La sèrie es pot comparar a una integral per establir-ne la convergència o divergència. Sigui ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$ una funció positiva i monòtona decreixent tal que ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$. Si

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

aleshores la sèrie convergeix. Però si la integral divergeix, aleshores la sèrie també ho fa. Dit d'una altra manera, la sèrie convergeix si i només si la integral convergeix.

• Test de comparació directa. Si la sèrie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ és absolutament convergent i ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ per a n prou gran, aleshores la sèrie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ convergeix absolutament.
• Test de comparació de límits. Si ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$, i el límit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ existeix i és diferent de zero, aleshores ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ convergeix si i només si ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ convergeix.

• Test de condensació de Cauchy. Sigui ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ una seqüència positiva no creixent. Aleshores la suma ${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ convergeix si i només si la suma ${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ convergeix. A més, si convergeixen, aleshores ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$.
• Test d'Abel.Suposant que les següents condicions es compleixen:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$ és una sèrie convergent,
2. ${\displaystyle b_{n}}$ és una successió monòtona i limitada

Llavors ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ és també convergent. Noti's que aquest criteri és especialment peritnent i útil en el cas que ${\displaystyle \sum a_{n}}$ sigui una successió convergent no absoluta (llegeixi's condicional). Pel cas en què sigui absolutament convergent, tot i aplicar-se, és gairebé un corol·lari evident.

• Test per a sèries alternades (Criteri de Leibniz)
• Per a alguns tipus concrets de sèries hi ha tests de convergència més especialitzats; per exemple, per a les sèries de Fourier hi ha el test de Dini.

Vegeu també

• Regla de L'Hôpital

Enllaços externs

• Flowchart for choosing convergence test Arxivat 2010-08-08 a Wayback Machine.
• Convergence of infinite series Arxivat 2012-04-19 a Wayback Machine.