Imatge de Heisenberg

Mecànica quàntica
${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ Principi d'incertesa Història de la mecànica quàntica Cronologia de la mecànica quàntica
Antecedents Mecànica clàssica Teoria quàntica antiga Interferència · Notació bra-ket Hamiltonià
Conceptes fonamentals Estat quàntic · Funció d'ones Superposició · Entrellaçament Complementarietat · Dualitat Incertesa · Mesura Exclusió · Decoherència Teroema d'Ehrenfest · Efecte túnel · No-localitat
Formulacions Imatge de Schrödinger Imatge de Heisenberg Imatge d'interacció Mecànica matricial Integral de camins
Equacions Equació de Schrödinger Equació de Pauli Equació de Klein–Gordon Equació de Dirac Fórmula de Rydberg
Científics Bell · Bohm · Bohr · Born · Bose  · de Broglie · Dirac · Ehrenfest · Everett · Feynman · Heisenberg · Jordan · Kramers · von Neumann · Pauli · Planck · Schrödinger  · Sommerfeld · Wien · Wigner · Salam · Riazuddin

En física, la imatge de Heisenberg o representació de Heisenberg ^[1] és una formulació (en gran part deguda a Werner Heisenberg el 1925) de la mecànica quàntica en la qual els operadors (observables i altres) incorporen una dependència del temps, però els vectors d'estat són independents del temps, una base fixa arbitrària rígidament subjacent a la teoria.^[2]

Es contrasta amb la imatge de Schrödinger en què els operadors són constants, en canvi, i els estats evolucionen en el temps. Les dues imatges només es diferencien per un canvi de base pel que fa a la dependència del temps, que correspon a la diferència entre transformacions actives i passives. La imatge de Heisenberg és la formulació de la mecànica matricial en una base arbitrària, en la qual l'hammiltonià no és necessàriament diagonal.

A més, serveix per definir una tercera imatge, híbrida, la imatge d'interacció.^[3]

Detalls matemàtics

A la imatge de Heisenberg de la mecànica quàntica els vectors d'estat | ψ ⟩ no canvien amb el temps, mentre que els observables A compleixen

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}},A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}}}$

on "H" i "S" etiqueten observables a la imatge de Heisenberg i Schrödinger respectivament, H és l'Hamiltonià i [·,·] denota el commutador de dos operadors (en aquest cas H i A). Prenent valors d'expectatives s'obté automàticament el teorema d'Ehrenfest, que apareix al principi de correspondència.

Segons el teorema de Stone–von Neumann, la imatge de Heisenberg i la imatge de Schrödinger són unitariment equivalents, només un canvi de base en l'espai de Hilbert. En cert sentit, la imatge de Heisenberg és més natural i convenient que la imatge equivalent de Schrödinger, especialment per a les teories relativistes. La invariància de Lorentz es manifesta a la imatge de Heisenberg, ja que els vectors d'estat no destaquen el temps ni l'espai.

Aquest enfocament també té una similitud més directa amb la física clàssica: simplement substituint el commutador anterior pel suport de Poisson, l'equació de Heisenberg es redueix a una equació en mecànica hamiltoniana.^[4]

Equivalència de l'equació de Heisenberg amb l'equació de Schrödinger

Pel bé de la pedagogia, la imatge de Heisenberg s'introdueix aquí a partir de la següent, però més familiar, la imatge de Schrödinger.

El valor esperat d'un A observable, que és un operador lineal hermitià, per a un estat de Schrödinger donat | ψ (t )⟩, ve donada per

A la imatge de Schrödinger, l'estat | ψ (t )⟩ en el temps t està relacionat amb l'estat | ψ (0)⟩ en el temps 0 per un operador d'evolució temporal unitària, U(t),A la imatge de Heisenberg, es considera que tots els vectors d'estat es mantenen constants als seus valors inicials | ψ (0)⟩, mentre que els operadors evolucionen amb el temps segonsL'equació de Schrödinger per a l'operador d'evolució temporal éson H és l'hammiltonià i ħ és la constant de Planck reduïda i i és la unitat imaginària.

Referències