La funció zeta de Riemann ζ(s) és una funció de variable complexa s definida, per a qualsevol s amb part real > 1, per
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f460a787ebaf667aaf7805f2b87e542a02836b)
és a dir, és la sèrie de Dirichlet amb a = 1. Quan la part real de s és superior a 1, aquesta sèrie és convergent. Bernhard Riemann demostrà que la funció es pot estendre a una funció holomorfa definida per a tots els nombres complexos s amb s ≠ 1. Aquesta és la funció a la que es refereix la hipòtesi de Riemann i té una importància cabdal en teoria de nombres (especialment per la seva relació amb els nombres primers) i en diversos camps de la Física.
Alguns valors de ζ(s) per als primers nombres enters són:
; que és la sèrie harmònica.
; la sèrie objecte del problema de Basilea.
; anomenada constant d'Apéry ![{\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e9a46d5516961a8ef1a298cdf973446f9eed7e)
![{\displaystyle \zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots =1.036...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e861cc594718d721db2abcd70f77982d316c622)
![{\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff1c7dfeaffd99249d2d58961e6035cb2377832)
![{\displaystyle \zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots =1.0083...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c087f38cbca4aad61e00ab9dc75dadddaf08b2)
![{\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963f3890150bd1a15ead910359103439799974e8)
![{\displaystyle \zeta (9)=1+{\frac {1}{2^{9}}}+{\frac {1}{3^{9}}}+\cdots =1.0020...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d81afa443d5230486225b5d4527672dda876c4)
![{\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add9493a217562b8feed720f203ddf286ccd539d)
Relació amb els nombres primers
La relació d'aquesta funció amb els nombres primers fou descoberta per Leonhard Euler, que trobà
![{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7950e3b049812cc97a13d06fa1ae0b026676110)
és a dir, que la funció zeta és igual a un producte infinit estès a tots els nombres primers p. En realitat, aquest resultat és conseqüència de la fórmula d'una sèrie geomètrica i del teorema fonamental de l'aritmètica.
Però a més, els zeros (o arrels) de la funció zeta, els punts on ζ(s) = 0, tenen una gran importància, perquè determinades integrals de camí que utilitzen la funció ln(1/ζ(s)) es poden fer servir per aproximar la funció de recompte de nombres primers, π(x)