Forma de curvatura

En geometria diferencial, la forma de curvatura descriu la curvatura d'una connexió de Cartan en un fibrat principal.

Pot ser considerada com una alternativa o una generalització del tensor de curvatura en geometria riemanniana.

Definició

Sigui G un grup de Lie amb àlgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, i P → B un G-fibrat principal. Sigui ω una connexió d'Ehresmann sobre P (la qual és una forma 1-diferencial en P avaluada a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$).

Llavors la forma de curvatura és la forma 2-diferencial de valor-${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ en P definida per

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

Aquí ${\displaystyle d}$ representa la derivada exterior, .${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$ és una forma diferencial avaluada a l'àlgebra de Lie, i D denota la derivada covariant exterior. És a dir, degut a que

${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)=([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$

on X, Y són vectors tangents a P, llavors utilitzant la fórmula anterior obtenim que

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].}$

Existeix també una altra expressió per a Ω: Si X, Y són camps vectorials horitzontals a P, llavors

${\displaystyle 2\Omega (X,Y)=-[hX,hY]+h[X,Y]}$

on hZ representa el component horitzontal de Z i a la dreta identifiquem un camp de vector vertical i un element d'àlgebra de Lie que el genera (camp vectorial fonamental), degut a que

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

Una connexió és anomenada plana si la seva curvatura val zero: Ω = 0. Equivalentment, una connexió és plana si el grup d'estructura pot ser reduït al mateix grup subjacent però amb la topologia discreta.

Forma de curvatura en un fibrat de vectors

Si E → B és un fibrat de vectors, aleshores es pot considerar ω com una matriu d'1-formes i la fórmula superior esdevé l'equació d'estructura d'E. Cartan:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

On ${\displaystyle \wedge }$ és el producte "wedge". Més concretament, si ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}}$ i ${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}}$ denoten components de ω i Ω respectivament, (${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}}$ és una 1-forma i ${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}}$ és un 2-forma) llavors

${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}=d\omega _{\ j}^{i}+\sum _{k}\omega _{\ k}^{i}\wedge \omega _{\ j}^{k}.}$

Per exemple, per al fibrat tangent d'una varietat riemanniana, el grup d'estructura és O(n) i Ω és un 2-forma amb valors en l'àlgebra de Lie de O(n), i.e. les matrius antisimètriques. En aquest cas la forma Ω és una descripció alternativa del tensor de curvatura, i.e.

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

Utilitzant la notació estàndard per al tensor de curvatura de Riemannian.

Identitats de Bianchi

Si ${\displaystyle \theta }$ és l'1-forma de valors vectorials canònica en el marc del fibrat, la torsió ${\displaystyle \Theta }$ de la forma de connexió ${\displaystyle \omega }$ és la 2-forma de valors vectorials definida per l'equació d'estructura

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

on, com a dalt, D denota la derivava covariant exterior.

La primera identitat de Bianchi pren la forma

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

La segona identitat de Bianchi pren la forma

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

que és vàlida de manera general per a qualsevol connexió d'un fibrat principal.

Bibliografia

Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets.

• Shoshichi Kobayashi i Katsumi Nomizu (1963) Fundacions de Geometria Diferencial, Vol.I, Capítol 2.5 "Curvature form and structure equation", p 75, Wiley Interscience.

Vegeu també

• Teoria de gauge